ν=
2π2𝑒3𝑚
ℎ3
𝑛
2
.
Значение скорости обращения, диаметра орбиты и энергии 𝑊 равны соответственно
𝑉=
2π𝑒2
ℎ
𝑛, 𝑑
ℎ2
2π2𝑒2𝑚
⋅
1
𝑛
и 𝑊=
2π2𝑒4𝑚
ℎ2
𝑛
2
.
2 N. Bohr. Phil. Mag., 1913, 26, 476 (статья 5, ч. II).
Рассмотрение этих выражений показывает, что принятые выше при вычислениях предположения выполняются тем лучше, чем меньше число электронов 𝑛 в атоме. Подставляя численные значения 𝑒, 𝑚 и ℎ, мы видим, что в случае α-частиц (𝑉 = 2⋅109 см/сек, 𝐸 = 2𝑒, 𝑀 = 104𝑚) эти условия выполняются при 𝑛 < 10, а в случае β-частиц (𝑉 = 2⋅1010 см/сек, 𝐸 = 𝑒, 𝑀 = 𝑚) — при 𝑛 < 100. В соответствии с теорией Резерфорда число электронов в атоме примерно равно половине атомного веса (если атомный вес водорода принять за единицу). Поэтому, если справедливы главные предположения относительно механизма передачи энергии от α-или β-частиц к электронам, мы должны ожидать, что формула (5) будет удовлетворяться для поглощения α-лучей в самых лёгких элементах, а в случае β-лучей — также и для поглощения в более тяжелых элементах. Однако в случае β-лучей надо помнить, что формула (1) была выведена в предположении о том, что 𝑉 мало в сравнении со скоростью света. Мы вернёмся к этому вопросу в § 3, где рассмотрена вероятность разброса потерь энергии, испытываемых отдельными частицами.
§ 2. Распределение вероятности потерь энергии, испытываемых отдельными α- или β-частицами
Вопросы, обсуждаемые в этом параграфе, непосредственно связаны с вероятностью обнаружения данного числа частиц в заданный момент времени в небольшой ограниченной части большого объёма, в котором частицы распределены беспорядочно. Эта проблема была рассмотрена М. Смолуховским 1 который показал, что вероятность обнаружения 𝑛 частиц даётся формулой
𝑊(𝑛)
=
ω𝑛
𝑛!
𝑒
-ω
,
(6)
где 𝑒 — основание натуральных логарифмов, а ω — среднее значение числа частиц в рассматриваемой части объёма. Если о очень велико, то это распределение вероятности с большой точностью может быть представлено формулой
𝑊(𝑠)𝑑𝑠
=
⎧
⎪
⎩
ω
2π
⎫½
⎪
⎭
𝑒
-½ω𝑠²
𝑑𝑠
,
(7)
где 𝑠 определяется из соотношения 𝑛 = ω(1+𝑠), а 𝑊(𝑠)𝑑𝑠 обозначает вероятность того, что значение 𝑠 находится между 𝑠 и 𝑠+𝑑𝑠.
1 М. v. Smoluchowski. Boltzmann-Festschrift, 1904, S. 626; см. также: Н. Batemаn. Phil. Mag., 1911, 21, 746.
В указанной выше работе Герцфельд использовал формулу (7) для вычисления распределения вероятности того, что α-частица с данной начальной скоростью проникнет в газ на расстояние 𝑅 до своей остановки. Герцфельд сделал простое предположение о том, что для остановки частицы необходимо определённое число 𝐴 столкновений с молекулами газа. Это число он принимал равным полному числу ионов, образованных данной частицей в газе. Число столкновений, испытываемых α-частицей при проникновении её в газ на данное расстояние, равно числу молекул, находящихся в цилиндрическом объёме, осью которого является траектория частицы. Распределение вероятности числа столкновений может быть получено из приведённых выше формул, если под ω подразумевать среднее число столкновений. Поскольку предполагается, что 𝐴 очень велико, разброс значений 𝑅 для отдельных частиц будет очень малым. Поэтому вероятность того, что значение 𝑅 заключено между 𝑅0(1+𝑠) и 𝑅0(1+𝑠+𝑑𝑠), где 𝑅0 — средняя величина пробега, в предположениях Герцфельда будет даваться просто формулой (7), в которой следует подставить ω = 𝐴. В рассматриваемой здесь теории такой расчёт не может быть проведён очень просто. Общее число столкновений не считается строго фиксированным, но предполагается, что энергия, теряемая α-или β-частицей при столкновениях с электронами, зависит от расстояния электронов до траектории частицы, непрерывно уменьшаясь с увеличением этого расстояния. Поэтому для того, чтобы наше рассмотрение было аналогично рассмотрению Герцфельда, необходимо разбить столкновения на отдельные группы, в каждой из которой величина потерь энергии частиц была бы примерно одинаковой.
Рассмотрим α- или β-частицу, проникшую в слой вещества толщиной Δ𝑥; разобьем все столкновения частицы с электронами на группы таким образом, чтобы в 𝑟-й группе расстояние 𝑝 лежало бы в пределах от 𝑝𝑟 до 𝑝𝑟+1.
Предположим теперь, что подобным образом можно разбить столкновения на такие группы, что число столкновений в каждой группе велико, а потери энергии 𝑄 при соударениях в пределах данной группы мало отличаются друг от друга. Пусть величина 𝑄, соответствующая 𝑟-й группе, будет равна 𝑄𝑟. Пусть, далее, среднее число столкновений в этой группе равно 𝐴𝑟; действительное же число таких столкновений, испытываемых данной α- или β-частицей, равно 𝐴𝑟(1+𝑠𝑟). Полная потеря энергии частицей при прохождении через рассматриваемый слой даётся формулой
Δ𝑇
=
∑
𝑄
𝑟
𝐴
𝑟
(1+𝑠
𝑟
)
.
Отсюда, обозначая среднее значение Δ𝑇 через Δ0𝑇, получаем
Δ𝑇
-
Δ
0
𝑇
=
∑
𝑄
𝑟
𝐴
𝑟
𝑠
𝑟
.
Так как величины 𝐴 велики, из формулы (7) мы получаем для вероятности того, что величина 𝑠𝑟 лежит в пределах от 𝑠𝑟 до 𝑠𝑟 + 𝑑𝑠𝑟,
𝑊(𝑠
𝑟
)
𝑑𝑠
𝑟
=
⎧
⎪
⎩
𝐴𝑟
2π
⎫½
⎪
⎭
𝑒
½𝐴𝑟𝑠𝑟²
𝑑𝑠
𝑟
.
Подобным же образом, обозначая через 𝑊(𝑇) 𝑑𝑇 вероятность того, что величина Δ𝑇 лежит в пределах от Δ𝑇 до Δ𝑇 + 𝑑𝑇, с помощью основной теоремы теории вероятностей получаем
𝑊(Δ𝑇) 𝑑𝑇
=
(2π𝑃
Δ
𝑥)
-½
exp
⎡
⎢
⎣
-
(Δ𝑇-Δ0𝑇)²
2𝑃Δ𝑥
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑇
,
(8)
где
𝑃Δ𝑥
=
∑
1
𝐴𝑟
(𝑄
𝑟
𝐴
𝑟
)²
=
∑
𝑄
𝑟
𝐴
𝑟
²
.
При рассмотренных выше предположениях это может быть просто записано в виде
𝑃Δ𝑥
=
∫
𝑄²
𝑑𝐴
.
Подставляя в это выражение значения 𝑄 и 𝑑𝐴 из формул (1) и (3) и интегрируя по 𝑝 для каждого вида электронов в пределах от 0 до 𝑝ν, получаем:
𝑃
=
