1 N. Воhr. Phil. Mag., 1913, 25, 10 (статья 4). Далее эта работа будет обозначаться как I
2 К. Неrzfеld. Phys. Zs., 1912, S. 547.
3 Я только что получил возможность ознакомиться с недавно опубликованной статьей Л. Фламма (Sitzungsber. d. К. Akad. Wiss. Wien, Mat.-nat. Kl., 1914, 123, 11a), который также обсуждал в ней вопросы о вероятности пробегов α-частиц в воздухе на основе тех же предположений, которые используются в настоящей статье, и получил некоторые результаты, изложенные здесь в § 2 (см. прим, на стр. 232).— Прим. авт. при корректуре.
4 J. J. Thomson. Phil. Mag., 1912, 23, 449.
§ 1. Среднее значение величины скорости торможения
Для лучшего понимания дальнейшего кратко изложим здесь расчёты, проведенные в предыдущей статье. В ней же можно найти и ссылки на более раннюю литературу по этому вопросу.
Предположим, следуя Эрнесту Резерфорду, что атом состоит из центрального ядра, имеющего положительный заряд и окружающего его роя отрицательных электронов, удерживаемых силами притяжения к ядру. В ядре сосредоточена практически вся масса атома, но его размеры ничтожно малы по сравнению с размерами окружающего его роя электронов. Если α- или β-частица проходит через слой вещества, она свободно проникает через атомы, но, сталкиваясь с электронами и ядрами, испытывает отклонение от первоначального направления и теряет часть своей первоначальной кинетической энергии. Отклонения приводят к рассеянию лучей и, кроме того, к уменьшению их скорости. Роли, которые играют при этом электроны и ядра, оказываются существенно различными. Поскольку вблизи ядер имеется сильное электрическое поле, рассеяние α- и β-частиц происходит главным образом за счёт столкновений с ядрами. Вместе с тем вследствие большой массы ядра полная потеря кинетической энергии при таких столкновениях будет ничтожно мала по сравнению с потерями при столкновениях с электронами. Поэтому при расчётах торможения мы будем принимать во внимание только столкновения с электронами.
Рассмотрим столкновение между заряженной частицей, движущейся со скоростью 𝑉, и электроном, который вначале покоился. Пусть 𝑀, 𝐸, 𝑚 и 𝑒 — массы и электрические заряды соответственно частицы и электрона и пусть расстояние от электрона до первоначального направления движения частицы 1 будет 𝑝. Если электрон считать свободным, то переданная ему при столкновении кинетическая энергия 𝑄 равна, как легко показать,
𝑄
=
2𝐸²𝑒²
𝑚𝑉²
1
𝑝²+𝑎²
,
(1)
где
𝑎
=
𝑒𝐸(𝑀+𝑚)
𝑀𝑚𝑉²
.
(2)
1 Прицельное расстояние.— Прим. ред.
Рассмотрим теперь α- или β-частицу, которая проникла в слой некоторого вещества толщиной Δ𝑥; пусть число атомов вещества в единице объёма равно 𝑁, а каждый атом содержит 𝑛 электронов. Среднее число столкновений, при которых значение 𝑝 лежит в пределах от 𝑝 до 𝑝+𝑑𝑝 равно
𝑑𝐴
=
2π𝑁𝑛
Δ
𝑥𝑝 𝑑𝑝
.
(3)
Если теперь пренебречь силами, действующими на электроны со стороны атомов, то среднее значение потерь кинетической энергии быстрой частицей при её проникновении в вещество будет определяться формулой
Δ𝑇
=
4π𝑒²𝐸²𝑁𝑛Δ𝑥
𝑚𝑉²
∫
𝑝 𝑑𝑝
𝑝²+𝑎²
,
(4)
в которой интегрирование распространено на все возможные значения 𝑝 — от 𝑝 = 0 до 𝑝 = ∞. Однако этот интеграл расходится. Таким образом, мы видим, что для получения согласия с экспериментом необходимо учесть влияние межатомных сил.
Будем считать, как и в электронной теории дисперсии, что электроны обычно находятся в положении устойчивого равновесия и при небольшом смещении совершают колебания около этих положений; частота этих колебаний, ν, имеет характерное значение для каждого электрона. При оценке действия межатомных сил удобно ввести понятие «времени столкновения», которое по порядку величины равно времени, необходимому α- или β-частице для прохождения расстояния 𝑝. Если эта величина очень мала по сравнению с периодом колебаний электрона, межатомные силы не успевают оказать существенное влияние на движение α- или β- частицы за время её пребывания внутри атома; поэтому энергия, переданная электрону, будет практически той же, как если бы электрон был свободен. В противном случае, когда время столкновения велико по сравнению с периодом колебаний, электрон ведёт себя как жёстко связанный, и переданная энергия будет очень мала. Таким образом, эффект межатомных сил сводится к введению в интеграл формулы (4) верхнего предела для 𝑝, равного по порядку величины значению 𝑉/ν. Строгое рассмотрение общего случая сопряжено со сложными математическими выкладками и вряд ли оправдано ввиду довольно скудных сведений о силах, которые удерживают электроны в их положениях равновесия в атоме. Однако для широкого круга экспериментальных приложений оказывается возможным внести существенное упрощение; получаемые при этом результаты с хорошей точностью не зависят от предположений о характере межатомных сил.
Вычисление полных потерь энергии α- или β-частицы сильно упрощается, если мы предположим, что при всех столкновениях, в которых межатомные силы оказывают существенное влияние на передачу энергии, смещение электрона из его положения равновесия при столкновении мало как по сравнению с 𝑝, так и по сравнению с максимальным смещением, из которого он в это положение возвращается. Легко показать, что смещение свободного электрона при столкновениях совпадает по порядку величины с введённым выше параметром 𝑎. Поэтому первое из двух рассмотренных выше предположений эквивалентно условию, что 𝑉/ν велико по сравнению с 𝑎. Второе же предположение соответствует тому, что величина 𝑄, получаемая при подстановке 𝑝 = 𝑉/ν. в формулу (1), мала по сравнению с энергией 𝑊, необходимой для удаления электрона из атома. При этих условиях простой расчёт, детали которого приведены в предыдущей статье, показывает, что эффективный верхний предел 𝑝ν в интеграле (4) равен
𝑝
ν
=
𝑘
2π
⋅
𝑉
ν
,
где 𝑘 = 1,123. Выполняя интегрирование по 𝑝 от 0 до 𝑝ν и пренебрегая величиной 𝑎² по сравнению с 𝑝ν², имеем
ln
𝑝ν
𝑎
=
ln
⎡
⎢
⎣
𝑘𝑉³𝑀𝑚
2πν𝐸𝑒(𝑀+𝑚)
⎤
⎥
⎦
.
Замечая теперь, что величина ν принимает разные значения ν1, ν2, … ν𝑛 для различных электронов атома, из формулы(4) получаем 1
Δ𝑇
=
4π𝐸²𝑒²𝑁Δ𝑥
𝑚𝑉²
𝑛
∑
1
ln
⎡
⎢
⎣
𝑘𝑉³𝑀𝑚
2πν𝐸𝑒(𝑀+𝑚)
⎤
⎥
⎦
.
(5)
1 См. I, стр. 72.
Мы принимали выше, как это делается в обычной теории дисперсии, что в нормальном состоянии электроны в атоме находятся в покое. Однако в соответствии с ядерной моделью атома следует считать, что электроны вращаются по замкнутым орбитам внутри центрального ядра. В этом случае для справедливости приведённых выше расчётов необходимо выполнение условий, согласно которым скорость вращения электронов на орбитах была бы мала по сравнению со скоростью α- или β-частицы, а размеры орбит — малы но сравнению с 𝑉/ν. В одной из предыдущих статей 2 автор попытался приложить квантовую теорию излучения к ядерной модели атома. Было указано, что имеются серьёзные основания для предположения о том, что энергия каждого электрона в атоме 𝑊 по порядку величины равна ℎν, где ℎ — постоянная Планка. В этом предположении было показано, что для атома, содержащего 𝑛 электронов, наивысшая характеристическая частота электрона равна
