Это выражение равно также среднему значению кинетической энергии системы. Так как -𝑊𝑛 равна полной энергии 𝐴𝑛 системы, из формул (4) и (5) получаем
𝑑𝐴𝑛
𝑑𝑛
=
ℎω
𝑛
.
(6)
Сравнивая соотношения (6) и (1), мы видим, что в случае медленных колебаний имеется упомянутое в предыдущем разделе соответствие с обычной механикой.
Полагая в формуле (3) 𝑁 = 1, мы получаем обычные спектральные серии водорода. Полагая 𝑁 = 2, получаем спектр, который с точки зрения теории должен принадлежать атому гелия с одним электроном, вращающимся вокруг ядра. Оказалось, что такая формула очень хорошо описывает некоторые серии линий, наблюдавшихся Фаулером 1 и Эвансом 2. Эти серии 3 соответствуют 𝑛1 = 3 и 𝑛1 = 4. Теоретическое значение отношения второго множителя в формуле (3) к соответствующему множителю в спектре водорода равно 1,000409; величина же, рассчитанная из экспериментальных данных Фаулера, равна 1,000408 4. Некоторые из рассматриваемых линий наблюдались ранее в спектрах звёзд и приписывались водороду не только ввиду близкого количественного соответствия с линиями серии Бальмера, но также и потому, что наблюдаемые линии, подобно линиям серии Бальмера, образуют спектр, аналогичный спектрам щелочных металлов. Однако эта аналогия была полностью нарушена в результате наблюдений Фаулера и Эванса, которые обнаружили, что две новые серии содержат вдвое больше линий, чем следовало бы ожидать согласно этой аналогии. Кроме того, Эвансу удалось получить линии в столь чистом гелии, что никаких следов обычных линий водорода нельзя было обнаружить 5. Огромная разница между условиями возбуждения серии Бальмера и рассматриваемой серии была ярко продемонстрирована в некоторых из недавних экспериментов 6 по нахождению минимального напряжения, необходимого для возбуждения спектральных линий. В то время как для возбуждения линий серии Бальмера было достаточно разности потенциалов около 13 в, для того, чтобы возбудить другие линии, оказалось необходимым приложить около 80 в. Эти величины хорошо согласуются со значениями энергий, необходимых для удаления соответственно электрона из атома водорода и обоих электронов из атома гелия, которые вычисляются исходя из предположения Е и отвечают напряжениям 13,6 и 81,3 в соответственно. Недавно было показано 1, что линии не являются столь резкими, как этого можно было бы ожидать при атомном весе гелия из теории Рэлея для ширины спектральных линий. Однако это может быть объяснено тем, что системы, испускающие излучение с таким спектром, в противоположность системам, обладающим водородным спектром, имеют избыточный положительный заряд и, следовательно, можно ожидать, что они приобретают большие скорости в электрическом поле разрядной трубки.
1 Fowler. Month. Not. Roy. Astr. Soc., 1912, Dec., 73.
2 Evans. Nature, 1913, 92, 5; Phil. Mag., 1915, 29, 284.
3 При 𝑛1 = 2 мы получаем серию в крайнем ультрафиолете, некоторые линии которой недавно наблюдались Лайманом (Nature, 1915, 95, 343).
4 См.: N. Bohr. Nature, 1913, 92, 231 (статья 6).
5 См.: Stark. Verb. d. D. Phys. Ges., XVI, p. 468 (1914).
6 Rau. Sitz. Ber. d. Phys. Med. Ges., Wurzburg, (1914).
1 Merton. Nature, 1915, 95, 65; Proc. Roy. Soc., 1915, A91, 389.
В работе IV была сделана попытка объяснить на основе существующей теории характерное действие электрического поля на спектр водорода, открытое Штарком. Этот автор обнаружил, что если излучающий водород помещён в сильное электрическое поле, то каждая из линий серии Бальмера расщепляется на ряд компонент. Эти компоненты расположены симметрично по отношению к первоначальным линиям и расстояние между ними пропорционально напряжённости внешнего электрического поля. При наблюдении в направлении, перпендикулярном полю, компоненты оказываются линейно поляризованными, некоторые параллельно и некоторые перпендикулярно полю. Дальнейшие эксперименты показали, что это явление даже более сложно, чем ожидалось вначале. При увеличении дисперсии спектрального прибора число наблюдаемых компонент резко возросло, и оказалось, что число и интенсивность компонент сложным образом меняются от линии к линии 2. Хотя современное состояние теории не позволяет полностью объяснить экспериментальные данные, предложенный в работе IV подход, по-видимому, даёт возможность понять основные черты явления.
2 J. Stark. Elektrische Spektralanalyse chemischer Atome. Leipzig, 1914.
Вычисления можно существенно упростить по сравнению с предыдущей работой, если воспользоваться принципом Гамильтона. Рассмотрим частицу, движущуюся по замкнутой орбите в стационарном поле. Обозначим через ω частоту обращения, через 𝑇 — среднее значение кинетической энергии за период и через 𝑊 — среднее значение суммы кинетической энергии и потенциальной энергии частицы по отношению к стационарному полю. Тогда для произвольного малого изменения орбиты имеем
δ𝑊
=-
2ωδ
⎧
⎪
⎩
𝑇
ω
⎫
⎪
⎭
.
Это соотношение было использовано в работе IV для доказательства эквивалентности формул (2) и (6) для любой системы, подчиняющейся обычной механике. Соотношение (7) означает, кроме того, что если формулы (2) и (6) справедливы для некоторой системы орбит, то они будут справедливы также при любом малом изменении этих орбит, если величина 𝑊 остаётся неизменной. Если атом водорода в одном из стационарных состояний помещён во внешнее электрическое поле и электрон вращается по замкнутой орбите, мы будем считать, что 𝑊 остаётся таким же, как и в случае отсутствия поля, и все изменение полной энергии системы обусловлено изменением среднего значения потенциальной энергии по отношению к внешнему полю.
В предыдущей работе было указано, что орбита электрона должна деформироваться внешним полем. Эта деформация с течением времени станет значительной, даже если внешние электрические силы малы но сравнению с силами притяжения, действующими между частицами. Орбита электрона в каждый момент может считаться эллиптической с ядром, находящимся в фокусе эллипса, причём длина большой оси эллипса остаётся примерно постоянной, и действие поля сводится к постепенному изменению направления большой оси, а также эксцентриситета орбиты. Детальное исследование очень сложного движения электрона не проводилось и было лишь указано, что имеются две стационарные орбиты электрона, которые можно рассматривать как два возможных стационарных состояния. Эксцентриситет этих орбит равен единице и большая ось параллельна направлению внешнего поля; орбиты представляют собой просто отрезки прямых линий, проходящих через ядро параллельно внешнему полю по одной с каждой стороны ядра. Нетрудно показать, что среднее значение потенциальной энергии по отношению к полю для этих прямолинейных орбит равно
±(3/2) 𝑎𝑒𝐸,
где 𝐸 — напряжённость внешнего электрического поля, 2𝑎 — большая ось орбиты, а два знака перед этим выражением соответствуют орбитам, направление главной оси которых совпадает с направлением электрического поля или соответственно противоположно ему. Используя формулы (4) и (5) и пренебрегая массой электрона по сравнению с массой ядра, мы получаем, что значения энергии систем в двух состояниях равны
𝐴
𝑛
=-
𝑁
2
2π2𝑒𝑚
ℎ2
1
𝑛2
