Попытаемся теперь, применяя теорию Планка к нашей задаче, выйти из указанных затруднений.

Мы видим тотчас же, что не может быть и речи о непосредственном применении теории Планка. В теории Планка речь идёт об излучении и поглощении энергии в системе электрических частиц, колеблющихся с определённой частотой; эта частота зависит только от природы системы и но зависит от энергии, содержащейся в ней в данный момент. В рассматриваемой нами системе, состоящей из ядра и вращающегося вокруг него электрона, период колебания соответствует периоду обращения электрона; но формула (4) для ω показывает, что период обращения зависит от 𝑊, т.е. от энергии системы. Однако невозможность непосредственного применения теории Планка к нашей проблеме не является столь серьёзной, как это может показаться. Принимая теорию Планка, мы признаем открыто недостаточность обычной электродинамики и решительно порываем с рядом положений, тесно связанных с этой теорией. Делая такой шаг, мы можем предвидеть, что не все противоречия наших теперешних представлений и опыта исчерпываются гипотезой Планка о величине энергии, которая в любой момент должна содержаться в колеблющейся системе. Мы стоим здесь перед неизвестной областью и, вводя гипотезы, должны заботиться лишь о том, чтобы избежать противоречия с опытом. Будущее покажет, насколько этого можно избежать по всем пунктам; самый надёжный путь, конечно, — делать возможно меньше гипотез.

Приняв это к сведению, обратимся сначала к опытам по тепловому излучению. В этих опытах непосредственно наблюдается распределение энергии по колебаниям различных длин волн. Нужно, конечно, себе представлять, что эта энергия исходит из систем колеблющихся частиц; но мы совершенно ничего не знаем об этих системах. Никто никогда не видел резонатора Планка и не измерял период его колебаний; мы наблюдаем период колебаний излучения. Поэтому для нас чрезвычайно выгодно, что, как оказывается, при выводе закона теплового излучения нет надобности в гипотезах об излучающих системах, кроме предположения о том, что излучаемая энергия равна ℎν, где ℎ — постоянная Планка, ν — частота колебаний излучения. Дебай (1910) показал, что на основании одной этой гипотезы, комбинируя методы Планка и Джинса, можно получить закон излучения Планка. Прежде чем входить в детали строения колебательной системы, посмотрим, насколько возможно согласовать указанную гипотезу об излучении со спектральными закономерностями.

Если в спектре какого-нибудь элемента имеется линия с частотой колебаний ν, то мы будем, следовательно, предполагать, что атом (или Другая элементарная система) излучает энергию ℎν. Обозначая энергию атома до излучения через 𝐸₁, а после излучения — через 𝐸₂, имеем

ℎν = 𝐸

₁

- 𝐸

₂

или ν =

𝐸₁

ℎ

-

𝐸₂

ℎ

.

(5)

Следует думать, что в процессе излучения система переходит из одного состояния в другое; мы назовём эти состояния стационарными состояниями для обозначения того, что они являются остановками, между которыми происходит излучение энергии, соответствующей данной спектральной линии.

Как мы видели, по Ритцу спектр элемента состоит из серии линий, длины волн которых могут быть выражены формулой (2). Сравнивая эту формулу с соотношением (6), мы видим ( ν = 𝑐/λ, где 𝑐 — скорость света), что появление каждой линии можно истолковать как переход системы между двумя стационарными состояниями, энергия которых с точностью до произвольной аддитивной постоянной выражается соответственно через — 𝑐ℎ𝐹_𝑟(𝑛₁) и 𝑐ℎ𝐹_𝑠(𝑛₂). На основе такого толкования комбинационный принцип утверждает, что система имеет ряд стационарных состояний, причём она может переходить из одного состояния в другое с испусканием монохроматического излучения. Таким образом, простым обобщением нашей первой гипотезы мы получаем возможность формального объяснения самой общей закономерности линейчатых спектров.

Этот результат приводит к попытке составить наглядное представление о стационарных состояниях, применявшихся до сих пор чисто формально. В поисках такой наглядной картины мы, естественно, обращаемся к спектру водорода. Формула в этом случае, согласно (3), имеет вид

1

λ

=

𝑅

𝑛₁²

-

𝑅

𝑛₂²

В соответствии с нашим предположением, спектр образуется при переходах системы между различными стационарными состояниями, о которых мы можем пока утверждать только, что в 𝑛-м состоянии энергия системы даётся с точностью до произвольной аддитивной постоянной выражением 𝑅ℎ𝑐/𝑛². Попытаемся теперь воспользоваться рассмотренной ранее моделью атома водорода. Предположим, что для вычисления числа обращений электрона в стационарных состояниях системы можно воспользоваться полученной ранее формулой для ω. Такое предположение естественно. Если мы желаем вообще составить наглядное представление о стационарных состояниях, у нас нет других средств, по крайней мере сейчас, кроме обычной механики.

Попытаемся в виде пробы для 𝑛-го стационарного состояния подставить 𝑊 = 𝑅ℎ𝑐/𝑛². Тогда на основании формулы (4) находим

ω

_𝑛

²

=

2

𝑅

³

ℎ

³

𝑐

³

π

⁴

𝑒

⁴

𝑚𝑛

⁶

.

(6)

Излучение света, соответствующее определённой спектральной линии, происходит, по нашей гипотезе, при переходе между двумя стационарными состояниями с частотами обращения электрона ω_𝑛1 и ω_𝑛2. Мы не имеем права ожидать, согласно нашим предположениям, простой связи между числом обращений электрона и частотой колебаний излучения. Вы видите, что я не пытаюсь здесь дать то, что обыкновенно называется объяснением; в наших рассуждениях нет речи о том, как и почему происходит излучение. Только в одном пункте мы можем ожидать связи с нашими обычными представлениями. Можно ожидать, что излучение длинных электромагнитных волн может быть вычислено согласно классической электродинамике. Такое предположение чрезвычайно подкрепляется, например, результатом вычислений Лоренца, о которых мы говорили выше.

Из формулы для о мы видим, что при возрастании ω число обращений уменьшается и одновременно отношение ω_𝑛/ω_𝑛+1 приближается к единице, оставаясь больше единицы. На основании изложенных выше соображений частота излучения, соответствующая переходу между (𝑛+1)-м и 𝑛-м состояниями, задаётся выражением

ν

=

𝑅𝑐

⎧

⎪

⎩

1

𝑛²

-

1

(𝑛+1)²

⎫

⎪

⎭

.

Если 𝑛 очень велико, то выражение приближённо таково: ν = 2𝑅𝑐/𝑛². Для установления связи с обычной электродинамикой мы приравняем в этом случае частоту излучения числу обращений электрона, т. е. ω_𝑛 = 2𝑅𝑐/𝑛². Сравнивая это выражение с (6), мы видим, что 𝑛 в этом равенстве сокращается и для 𝑅 получаем

𝑅

=

2π²𝑒⁴𝑛

𝑐ℎ³

(7)

Постоянная 𝑅 известна с большой точностью и, как я уже говорил, равна 109 675. Подставляя значения 𝑒, 𝑚 и ℎ по новейшим измерениям в теоретическое выражение (7) для 𝑅, находим величину 1,09⋅10⁵. Лучшего согласия не приходится желать, если принять во внимание неуверенность в экспериментальных значениях постоянных 𝑒, 𝑚 и ℎ. Поэтому мы можем утверждать, что нашли согласие наших вычислений и классической электродинамики в том объёме, в котором этого вообще позволительно ожидать.