⎭

,

если пренебречь степенями δ𝑎 выше второй. Здесь 𝑇 — общая кинетическая, а 𝑃 — потенциальная энергия системы. Поскольку для заданных закреплённых положений ядер 𝐹 увеличивается с увеличением 𝑎 ( 𝐹 = 0 для 𝑎 = 0, = 𝐹 = 2𝑁 - 𝑠_𝑛 для 𝐹 = ∞), то член, зависящий от изменения 𝐹, положителен, а, следовательно, система устойчива относительно рассматриваемого смещения.

С помощью рассуждений, точно соответствующих изложенным на стр. 111 части II, мы получаем условие устойчивости относительно смещений электронов, перпендикулярных плоскости кольца

𝐹 < 𝑝

_𝑛,0

- 𝑝

_𝑛,𝑚

,

(5)

где 𝑝_𝑛,0 - 𝑝_𝑛,𝑚 имеет то же значение, что и в части II, a 𝑒²/𝑎³𝐹δ𝑧 означает перпендикулярную плоскости кольца компоненту силы, которая вызвана действием ядер на один из электронов, испытывающих небольшое смещение δ𝑧 перпендикулярно плоскости кольца. Как и для систем, рассмотренных в части II, можно представлять себе, что смещения вызваны посторонними внешними силами, действующими на электроны в направлении, параллельном оси системы.

Для системы двух ядер, заряд каждого из которых равен 𝑁𝑒, и кольца из 𝑛 электронов, находим

𝐺

=

𝑁²

2𝑛

⎡

⎢

⎣

⎧

⎪

⎩

4𝑛

𝑁

⎫2/3

⎪

⎭

-1

⎤3/2

⎥

⎦

⎡

⎢

⎣

1-3

⎧

⎪

⎩

𝑁

4𝑛

⎫2/3

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

.

(6)

С помощью этого выражения, используя таблицу для 𝑝_𝑛,0 - 𝑝_𝑛,𝑚 на стр. 112 части II, легко показать, что система, о которой идёт речь, устойчива только тогда, когда 𝑁 = 1 и 𝑛 равно 2 или 3.

При рассмотрении устойчивости системы относительно взаимного смещения ядер мы допустим, что движения ядер происходят настолько медленно, что состояние движения электронов в некоторый момент времени не отличается заметным образом от того, которое было вычислено в предположении, что ядра неподвижны. Такое допущение применимо вследствие больших масс ядер по сравнению с массой электронов; при этом колебания, вызванные смещением ядер, намного медленнее, чем вызванные смещениями электронов. Таким образом, для системы, состоящей из одного кольца электронов и двух ядер одинакового заряда, мы допустим, что в любой произвольный момент времени движение электронов, обусловленное смещением ядер, происходит по круговым орбитам в плоскости симметрии ядер.

Представим себе теперь, что с помощью внешних сил, действующих на ядра, мы медленно меняем расстояние между ними. В процессе смещения радиус электронного кольца меняется, поскольку меняется радиальная составляющая силы, возникающей благодаря притяжению ядер. Во время этого изменения момент импульса каждого электрона относительно прямой, соединяющей ядра, остаётся постоянным. Если расстояние между ядрами увеличивается, то радиус кольца, очевидно, также увеличивается; но радиус будет увеличиваться медленнее, чем расстояние между ядрами. Представим себе, например, смещение, при котором, как расстояние, так и радиус, увеличились в α раз по сравнению с их первоначальными значениями. В новой конфигурации радиальная составляющая силы, действующей на электрон со стороны ядер и остальных электронов, равна 1/α² от первоначальной. Далее, из постоянства момента импульса электронов при смещении следует, что скорость электронов в новой конфигурации составляет 1/α, а центробежная сила — 1/α³ от первоначальных значений. Следовательно, радиальная составляющая силы больше центробежной.

Принимая во внимание, что расстояние между ядрами растет быстрее, чем радиус кольца, притяжение, испытываемое одним из ядер со стороны кольца, будет больше, чем отталкивание со стороны другого ядра. Поэтому внешние силы, действующие на ядра, производят при смещении положительную работу, и система будет устойчива относительно этого смещения. Ясно, что результат остаётся тем же в случае уменьшения расстояния между ядрами. Нужно отметить, что в приведённых выше рассуждениях мы не пользовались никакими новыми предположениями, касающимися динамики электронов; мы использовали только принцип постоянства момента импульса, который можно применять как в обычной механике, так и для основной гипотезы § 1.

Исследование устойчивости системы, состоящей из электронного кольца и двух ядер с неодинаковыми зарядами, сложнее. Как и до сих пор, мы найдём, что система всегда устойчива относительно смещений электронов в плоскости кольца; для смещений, перпендикулярных плоскости кольца, и здесь справедливо условие, соответствующее соотношению (5). Но этого условия недостаточно, чтобы обеспечить устойчивость системы. Для смещения электронов, перпендикулярного плоскости кольца, изменение радиальной составляющей силы, вызванной ядрами, имеет тот же порядок величины, что и смещение; потому при новом расположении радиальная сила не будет уравновешена центробежной силой. Если теперь менять радиус орбиты до восстановления радиального равновесия, энергия системы уменьшается. Это обстоятельство необходимо учитывать при применении условия устойчивости §1. Аналогичные трудности возникают при расчёте устойчивости относительно смещений ядер. При изменении расстояния между ядрами меняется не только радиус кольца, но и отношение, в котором плоскость кольца делит прямую, соединяющую ядра. Вследствие этого точное рассмотрение общего случая слишком громоздко; приближённый же численный расчёт показывает, что, как и в предыдущем случае, система будет неустойчивой, если заряды ядер не малы, а кольца содержат очень мало электронов.

Приведённые здесь рассуждения для систем, состоящих из двух положительно заряженных ядер и некоторого числа электронов, ведут к конфигурациям, в которых расположение электронов совпадает с ожидаемым в молекулах химических соединений. Таким образом, при стабильной конфигурации нейтральной системы, содержащей два ядра с большими зарядами, бо́льшая часть электронов расположена вокруг каждого ядра приблизительно так, будто второго ядра нет. Только небольшое число внешних электронов располагается в кольце, вращающемся вокруг прямой, соединяющей ядра. Последнее кольцо, связывающее систему, осуществляет химическую «связь».

Первое грубое приближение для возможной конфигурации такого кольца можно получить, если рассматривать простую систему, состоящую из одного единственного кольца, вращающегося вокруг прямой, соединяющей два ядра пренебрежимо малых размеров. Более детальное рассмотрение конфигурации систем с большим числом электронов, при котором учитывалось бы и действие внутреннего кольца, связано с трудными численными расчётами. За исключением пары примеров в § 5, мы будем рассматривать здесь лишь системы с малым числом электронов.

§ 3. Системы с небольшим числом электронов.

Молекула водорода

Среди рассмотренных в § 2 и признанных устойчивыми систем особый интерес имеет система, образованная из одного кольца с двумя электронами и двух ядер с зарядом 𝑒, поскольку, согласно теории, она представляет собой нейтральную молекулу водорода.

Обозначим через 𝑎 радиус кольца, а через 𝑏 — расстояние ядра от плоскости кольца. Тогда, согласно формуле (1), подставив 𝑁 = 1 и 𝑛 = 2, получим

𝑏

=

1

√3

𝑎.

Из формулы (4) находим