𝑚⋅2
𝑐²
𝑣²
⎧
⎪
⎩
1-
⎡
⎢
⎣
1-
𝑣²
𝑐²
⎤½
⎥
⎦
⎫
⎪
⎭
.
Как уже установлено в части I, основанный на обычной механике расчёт показывает, что кольцо электронов, вращающееся вокруг ядра, вообще неустойчиво при смещениях электронов в плоскости кольца. Чтобы избежать этой трудности, мы предположили, что обычные принципы механики столь же мало применимы при рассмотрении упомянутой проблемы, как и при рассмотрении механизма связывания электронов. Мы также предположили, что устойчивость относительно таких смещений обеспечена введением гипотезы универсального постоянства момента импульса электронов.
Как легко показать, последнее предположение включено в § 1 в условие устойчивости. Рассмотрим кольцо электронов, вращающееся вокруг ядра, и допустим, что система находится в динамическом равновесии, причём 𝑎0 — радиус кольца, 𝑣0 — скорость электронов, 𝑇0 — общая кинетическая энергия и 𝑃0 — потенциальная энергия. Как показана в части I (стр. 102), 𝑃0 = -2𝑇0. Рассмотрим сначала такую конфигурацию системы, при которой под влиянием внешних сил электроны вращаются вокруг ядра с одинаковым моментом импульса в кольце радиуса 𝑎 = α𝑎0. В этом случае 𝑃 = (1/α)𝑃0 и вследствие одинаковости моментов импульса 𝑣 = (1/α)𝑣0 и 𝑇 = (1/α)²𝑇0. Если использовать соотношение 𝑃0 = -2𝑇0, то получим
𝑃+𝑇
=
1
α
𝑃
0
+
1
α²
𝑇
0
=
𝑃
0
+
𝑇
0
+
𝑇
0
⎧
⎪
⎩
1-
1
α
⎫2
⎪
⎭
.
Мы видим, что общая энергия при новой конфигурации больше, чем при первоначальной. Согласно условию устойчивости § 1, система устойчива при рассмотренном смещении. В этой связи нужно отметить сделанное в части I предположение, что частота испускаемого или поглощаемого системой излучения не может определяться частотами колебаний электронов в плоскости орбит, как это вытекает из расчётов с помощью обычной механики. Напротив, мы предположили, что частота излучения определяется условием ℎν = 𝐸, где ν — частота, ℎ — постоянная Планка, 𝐸 — разница в энергиях двух различных стационарных состояний системы.
Для исследования устойчивости электронного кольца, вращающегося вокруг ядра, относительно смещений электронов, перпендикулярных к плоскости кольца, рассмотрим расположение системы, при котором электроны смещены соответственно на δ𝑧1, δ𝑧2, …, δ𝑧𝑛, и примем, что электроны под действием внешних сил вращаются по круговым орбитам вокруг оси системы в плоскостях, параллельных первоначальным плоскостям, с теми же радиусами и моментами импульса, как и раньше. Кинетическая энергия при смещении меняется; если пренебречь степенями δ𝑧1, δ𝑧2, …, δ𝑧𝑛 выше второй, то прирост потенциальной энергии имеет вид
1
2
𝑒²
𝑎³
𝑁
∑
(δ𝑧)²
-
1
32
𝑒²
𝑎³
∑∑
⎪
⎪
⎪
cosec³
π(𝑟-𝑠)
𝑛
⎪
⎪
⎪
(δ𝑧
𝑟
-δ𝑧
𝑠
)²
,
где 𝑎 — радиус кольца, 𝑁𝑒 — заряд ядра, 𝑛 — число электронов. Согласно условию устойчивости § 1, система будет устойчивой при рассматриваемых смещениях, если приведённое выше выражение положительно для произвольных значений δ𝑧1, δ𝑧2, …, δ𝑧𝑛. Простым расчётом можно показать, что последнее требование эквивалентно условию
𝑁 > 𝑝
𝑛,0
-𝑝
𝑛,𝑚
,
(5)
где 𝑚 — целое число (меньшее 𝑛), для которого
𝑝
𝑛,𝑘
=
1
8
𝑠=𝑛-1
∑
𝑠=1
cos 2𝑘
𝑠π
𝑛
cosec³
𝑠π
𝑛
имеем наименьшее значение. Это условие идентично условию равновесия, выведенного на основе рассуждений обычной механики для смещений электронов перпендикулярно плоскости кольца 1.
1 Ср.: J. W. Nicholson. Month. Not. Roy. Astr. Soc., 1912, 72, 52.
Для наглядной иллюстрации представим себе, что рассматриваемые смещения вызваны внешними силами, действующими на электрон параллельно оси кольца. Если смещения происходят бесконечно медленно, то движение электронов в каждое мгновение происходит нормально первоначальной плоскости кольца; момент импульса каждого электрона относительно центра своей круговой орбиты, очевидно, равен первоначальному значению. Прирост потенциальной энергии системы будет равняться работе внешних сил, вызвавших смещения. С помощью таких рассуждений мы приходим к допущению, что в противоположность случаю колебаний в плоскости кольца обычная механика может применяться при расчёте колебаний электронов, перпендикулярных плоскости кольца. Это предположение подтверждается согласием с наблюдениями, выполненными Никольсоном в связи с его теорией о происхождении линий в спектрах солнечной короны и звёздных туманностей (см. часть I, стр. 89 и 104). Кроме того, позже будет показано, что это предположение согласуется и с опытами по дисперсии.
Значения 𝑠𝑛 и 𝑝𝑛,0 - 𝑝𝑛,𝑚 от 𝑛 = 1 до 𝑛 = 16 даны в табл. 1.
Таблица 1
𝑛
𝑠𝑛
𝑝𝑛,0 - 𝑝𝑛,𝑚
𝑛
𝑠𝑛
𝑝𝑛,0 - 𝑝𝑛,𝑚
1
0
0
9
3,328
13,14
2
0,25
0,25
10
3,863
18,13
3
0,577
0,58
11
4,416
23,60
4
0,957
1,41
12
4,984
30,80
5
1,377
2,43
13
5,565
38,57
6
1,828
4,25
14
6,159
48,38
7
2,305
6,35
15
6,764
58,83
8
2,805
9,56
16
7,379
71,65
Из таблицы видно, что число электронов, которые могут вращаться вокруг ядра с зарядом 𝑁𝑒 в одном кольце, очень медленно растет с увеличением 𝑁; для 𝑁 = 20 наибольшее значение 𝑛 = 10; для 𝑁 = 40, 𝑛 = 13; для 𝑁 = 60, 𝑛 = 15. Мы видим далее, что рой из 𝑛 электронов не может вращаться вокруг ядра с зарядом 𝑛𝑒 в единственном кольце, если только 𝑛 не меньше 8.
Выше мы предполагали, что электроны движутся под влиянием стационарной радиальной силы и что их орбиты в точности круговые. Первое условие не выполняется, если рассматриваемая система содержит несколько электронных колец, вращающихся с разными частотами. Если же расстояние между кольцами не мало по сравнению с их радиусами, а отношение частот не близко к единице, то отклонение орбиты от круговой очень мало. Тогда движение электронов почти идентично установленному из допущения, что, заряд электронов равномерно распределен по кольцу. Если отношение радиусов колец не близко к единице, то получаемые из этого допущения условия устойчивости можно считать достаточными.
