В § 1 мы предположили, что электроны в атоме вращаются в коаксиальных кольцах. Расчёт показывает, что плоскости колец могут разделиться только в случае систем, содержащих большое число электронов; в системах, содержащих ограниченное число электронов, все кольца лежат в одной единственной плоскости, проходящей через ядро. Простоты ради мы будем рассматривать только последние.
Рассмотрим электрический заряд 𝐸 равномерно распределённый по окружности радиуса 𝑎. В точке, расположенной на расстоянии 𝑧 от плоскости и 𝑟 от оси кольца, электростатический потенциал задаётся выражением
𝑈
=
1
π
𝐸
π
∫
0
𝑑θ
√𝑎² + 𝑟² + 𝑧² - 2𝑎𝑟 cos θ
.
Если положить 𝑧 = 0 и 𝑟/𝑎 = tg²α и использовать обозначение
𝐾(α)
=
π/2
∫
0
𝑑θ
√1 - sin²α cos²θ
,
то для радиальной силы, действующей на электрон в некоторой точке плоскости кольца, получим
𝑒
∂𝑈
∂𝑟
=
𝐸𝑒
𝑟²
𝑄(α)
,
где
𝑄(α)
=
2
π
sin
4
α
[
𝐾(2α)
-ctg α⋅
𝐾'(2α)
].
Соответствующая сила, перпендикулярная плоскости кольца, на расстоянии 𝑟 от центра кольца на небольшом расстоянии δ𝑧 от его плоскости будет равна
𝑒
∂𝑈
∂𝑟
=
𝐸𝑒δ𝑧
𝑟³
𝑅(α)
,
где
𝑅(α)
=
2
π
sin
6
α
[
𝐾(2α)
+ tg(2α)⋅
𝐾'(2α)
].
Краткая таблица функций 𝑄(α) и 𝑅(α) дана на стр. 115.
Далее рассмотрим систему, содержащую некоторое число концентрических электронных колец, вращающихся в одной и той же плоскости вокруг ядра с зарядом 𝑁𝑒. Пусть радиусы колец будут 𝑎1, 𝑎2, …, а число электронов на различных кольцах — 𝑛1, 𝑛2, ….
Положив 𝑎𝑟/𝑎𝑠 = tg² α𝑟,𝑠, получим для радиальной силы, действующей на электрон в 𝑟-м кольце,
𝑒2
𝑎2𝑟
𝐹
𝑟
,
где
𝐹
𝑟
,
=
𝑁 - 𝑠 -
∑
𝑛
𝑠
𝑄(α
𝑟,𝑠
)
.
Суммирование проводится по всем кольцам, за исключением рассматриваемого.
Если распределение электронов в различных кольцах известно, то по формуле (1) на стр. 109 с помощью вышеизложенного можно определить 𝑎1, 𝑎2, …. Расчёт можно провести путём последовательных приближений; при этом мы исходим из значений для величин α и по ним вычисляем величины 𝐹, а затем вновь определяем значения α по формуле (1), что даёт 𝐹𝑠/𝐹𝑟 = 𝑎𝑠/𝑎𝑟 = tg²(α𝑠,𝑟) и т. д.
Как и в случае единственного кольца, мы здесь также предположим, что система устойчива относительно смещений электронов в плоскости своей орбиты. При расчёте, подобном приведённому на стр. 111, строго говоря, нужно учитывать взаимодействие колец. Это взаимодействие приведёт к тому, что величины 𝐹 в отличие от случая единственного вращающегося кольца не будут уже постоянными; они будут меняться с радиусами колец. Но если отношение радиусов колец не очень близко к единице, то изменение 𝐹 слишком мало, чтобы влиять на результат расчёта.
Если мы рассматриваем устойчивость системы относительно смещений электронов перпендикулярно плоскости кольца, то необходимо делать различие между смещениями, при которых центр тяжести электронов в отдельных кольцах остаётся неизменным, и смещениями, при которых все электроны сдвигаются внутри колец в том же направлении. Условие стабильности для смещений первого рода вытекает из условия (5) на стр. 111, если для каждого кольца заменить 𝑁 величиной 𝐺𝑟. Эта величина определяется из условия, чтобы 𝑒2/𝑎3𝑟𝐺𝑟δ𝑧 было равно перпендикулярной (плоскости кольца) составляющей той силы, которая действует на электрон, испытывающий малое смещение δ𝑥, со стороны ядра и электронов-других колец. Используя те же обозначения, что и выше, получаем
𝐺
𝑟
,
=
𝑁 -
∑
𝑛
𝑠
𝑅(α
𝑟,𝑠
)
.
Если все электроны одного из колец смещаются внешними силами в одном и том же направлении, то подобное смещение вызовет соответствующее смещение электронов в остальных кольцах и это воздействие окажет влияние на устойчивость. Рассмотрим, например, систему 𝑚 концентрических колец, вращающихся в одной плоскости вокруг ядра с зарядом 𝑁 и допустим, что в различных кольцах электроны смещены перпендикулярно этой плоскости соответственно на δ𝑧1, δ𝑧2, …, δ𝑧𝑚, В принятых здесь обозначениях прирост потенциальной энергии системы имеет вид
1
2
𝑁
∑
𝑛
𝑟
𝑒2
𝑎2𝑛
(δ𝑧
𝑛
)²
-
1
4
∑∑
𝑛
𝑟
𝑛
𝑠
𝑒2
𝑎2𝑟
𝑅(α
𝑟,𝑠
)
(δ𝑧
𝑟
-δ𝑧
𝑠
)²
.
Условие стабильности утверждает, что это выражение должно быть положительным для произвольных значений δ𝑧1, …, δ𝑧𝑚. Это условие можно просто учесть обычным способом. По сравнению с условием устойчивости относительно рассмотренных выше смещений это условие не оказывает заметного влияния, за исключением случаев, когда система содержит различные кольца с небольшим числом электронов.
Значения 𝑄(α) и 𝑅(α) для α от α= 20° до α= 70°, дающие представление о порядке величины этих функций, приведены в табл. 2.
Таблица 2
α
tg²α
𝑄(α)
𝑅(α)
α
tg²α
𝑄(α)
𝑅(α)
20
0,132
0,001
0,002
50
1,420
1,708
4,438
25
0,217
0,005
0,011
55
2,040
1,233
1,839
30
0,333
0,021
0,048
60
3,000
1,093
1,301
35
0,490
0,080
0,217
65
4,599
1,037
1,115
40
0,704
0,373
1,549
70
7,548
1,013
1,041
45
1,000
-
-
Величина tg²α в этой таблице означает отношение радиусов колец (tg²α = 𝑎𝑟/𝑎𝑠). Значения 𝑄(α) показывают, что, если только отношение радиусов колец не близко к единице, воздействие внешних колец на размеры внутренних очень мало, а соответствующее воздействие внутренних колец на внешние приблизительно компенсирует действие части заряда ядра соответственно числу электронов в кольце. Значения 𝑅(α) показывают, что воздействие внешних колец на устойчивость внутренних, хоть и больше, чем влияние на их размеры, всё-таки мало. Но если значение отношения радиусов не очень велико, воздействие внутренних колец на стабильность внешних заметно больше, чем нужно для нейтрализации, соответствующей части заряда ядра.
