ν
=
𝐹
τ
(τ
1
)
-
𝐹
𝑠
(τ
2
)
,
1 W. Ritz. Phys. Zs., 1908, 9, 521.
где τ1 и τ2 — целые числа, a 𝐹1, 𝐹2, 𝐹3,… — функции τ вида
𝐾
(τ+α1)²
,
𝐾
(τ+α2)²
,…
𝐾 — универсальная постоянная, равная стоящему вне скобок сомножителю в формуле (4) для спектра водорода.
То обстоятельство, что частота может быть представлена в виде разности двух функций от целых чисел, позволяет заключить, что происхождение линий в данных спектрах подобно тому, какое мы приняли для водорода. Это значит, что линии соответствуют тому излучению, которое имеет место при переходе системы из одного стационарного состояния в другое. Для многоэлектронных систем рассмотрение может быть очень сложным, так как существует множество конфигураций электронов, которые нужно учитывать как стационарные состояния. Это должно объяснить существование различных групп серий, соответствующих указанным веществам. Здесь я попытаюсь показать, что теоретически весьма просто объяснить, почему постоянная 𝐾, входящая в формулу Ридберга, одинакова для всех элементов.
Примем, что соответствующий спектр относится к излучению, испускаемому при связывании одного электрона, и что система, присоединившая электрон, нейтральна. Сила, действующая на электрон, находящийся на большом расстоянии от ядра и ранее присоединённого электрона, будет примерно та же, что и в предыдущем случае, когда электрон связывался ядром водорода. Поэтому энергия, соответствующая стационарному состоянию, будет для больших τ примерно равна той, которая получается из формулы (3) на стр. 87, если положить 𝐸=𝑒. Отсюда для больших τ получаем
lim[τ²⋅𝐹
1
(τ)]
=
lim[τ²⋅𝐹
2
(τ)]
=…=
2π²𝑚𝑒4
ℎ³
в соответствии с теорией Ридберга.
§ 3. Общие соображения. Продолжение
Вернёмся к обсуждению (см. стр. 90) того специального допущения, которое мы использовали при выводе формул (3) для стационарных состояний системы, состоящей из ядра и одного вращающегося вокруг него электрона.
Прежде всего мы допустили, что различные стационарные состояния соответствуют испусканию различного числа квантов энергии. Если рассматривать системы, у которых частота является функцией энергии, это допущение представляется маловероятным, поскольку с испусканием кванта частота меняется. Теперь покажем, что даже если отказаться от этого допущения, мы всё-таки получим равенство (2) (см. стр. 87) и этим сохраним формальную аналогию с теорией Планка.
Отметим прежде всего, что для объяснения закономерностей в спектрах с помощью формул (3) для стационарных состояний вовсе не было необходимости предполагать, что в каком-либо случае излучался более чем один квант. Дальнейшие выводы относительно частоты излучения можно получить, сравнивая расчёты энергии излучения в области больших длин волн, выполненные на основе изложенных выше допущений и на основе обычной механики. Известно, что последние находятся в соответствии с опытами над тепловым излучением в упомянутой области.
Мы примем, что соотношение между общим количеством выделенной энергии и числом оборотов электронов для различных стационарных состояний задаётся формулой 𝑊=𝑓(τ)ℎν вместо равенства (2). Поступая таким же образом, как и раньше, мы в этом случае вместо (3) получаем
𝑊=
π²𝑚𝑒𝐸²
2ℎ²𝑓²(τ)
, ω=
π²𝑚𝑒²𝐸²
2ℎ³𝑓³(τ)
.
Если, как и раньше, допустить, что количество энергии, выделяемое при переходе системы из состояния τ = τ1 в состояние τ = τ2, равно ℎν то вместо соотношения (4) получим
ν=
π²𝑚𝑒²𝐸²
2ℎ²
⎡
⎢
⎣
1
𝑓²(τ1)
-
1
𝑓²(τ2)
⎤
⎥
⎦
.
Ясно, что для получения формулы, аналогичной формуле для серии Бальмера, мы должны положить 𝑓(τ)=𝑐τ
Чтобы определить 𝑐, рассмотрим теперь переход системы между двумя последовательными состояниями с τ = 𝑁 и τ = 𝑁-1. Вводя 𝑓(τ)=𝑐τ, для частоты испускаемого излучения получаем
ν=
π²𝑚𝑒²𝐸²
2𝑐²ℎ³
⋅
2𝑁-1
𝑁²(𝑁-1)²
.
Для частоты обращения электрона до и после испускания имеем
ω
𝑁
=
π²𝑚𝑒²𝐸²
2𝑐²ℎ³𝑁³
и
ω
𝑁-1
=
π²𝑚𝑒²𝐸²
2𝑐²ℎ³(𝑁-1)³
Если 𝑁 велико, отношение между частотой до и после испускания равно примерно единице и в соответствии с обычной электродинамикой можно ожидать, что отношение между частотой излучения и частотой обращения электрона тоже примерно равно единице. Это условие выполняется только в том случае, если 𝑐=½. Взяв 𝑓(τ)=τ/2, мы вновь приходим к равенству (2), а следовательно, и к формулам (3) для стационарных состояний.
Если рассмотреть переходы системы между состояниями, соответствующими τ = 𝑁 и τ = 𝑁-𝑛 где 𝑛 мало по сравнению с 𝑁, то в том же приближении, что и раньше, получим, полагая, 𝑓(τ)=τ/2
ν=𝑛ω
.
Возможность испускания излучения с такой частотой можно объяснить также из аналогии с обычной электродинамикой, поскольку электрон, движущийся по эллиптической орбите вокруг ядра, испускает излучение, которое по теореме Фурье может быть разложено на компоненты с частотами 𝑛ω, где ω — частота обращения электрона.
Так мы приходим к предположению, что равенство (2) объясняется не тем, что различным стационарным состояниям соответствует излучение различного числа квантов энергии, а тем, что частота квантов энергии, испускаемых при переходе из состояния, в котором ещё энергия не испускалась, в одно из стационарных состояний, кратна числу ω/2 где ω — частота обращения электрона в рассматриваемом состоянии. Из этого предположения мы приходим к тому же выражению для энергии стационарного состояния, что и раньше, а отсюда с помощью основных предположений, изложенных на стр. 89—90, к тому же выражению для закономерности в спектре водорода. Вследствие этого мы можем рассматривать наши предыдущие рассуждения на стр. 87 только как простую форму изложения теории.
Прежде чем закончить рассмотрение этого вопроса, вернёмся на мгновение назад к вопросу о значении соответствия между наблюдаемыми и вычисленными значениями константы в формуле (4) для серии Бальмера в спектре водорода. Если исходить из вида закономерности для спектра водорода и принять, что различные линии соответствуют монохроматическому излучению, испускаемому при переходе между различными стационарными состояниями, из изложенного выше мы приходим к тому же выражению для константы, что и в формуле (4). При этом надо только допустить, что, во-первых, излучение испускается в виде квантов ℎν и, во-вторых, что частота излучения, испускаемого при переходе системы между последовательными стационарными состояниями, совпадает с частотой обращения электрона в области больших длин волн.
Поскольку все допущения, лежащие в основе излагаемой теории, имеют фундаментальный характер, мы вправе ожидать — если вообще весь наш метод рассмотрения справедлив — абсолютного, а не только приближённого совпадения наблюдаемого и вычисленного значений этой константы. Поэтому формула (4) может быть использована при обсуждении результатов экспериментального определения констант 𝑒, 𝑚, ℎ.
