𝑥
2
⎫2𝑛
⎪
⎭
…+
+
⎧
⎪
⎩
2ln γ+2ln
𝑥
2
-1
⎫
⎪
⎭
⎡
⎢
⎣
⎧
⎪
⎩
𝑥
2
⎫2
⎪
⎭
+
1
1!2!
⎧
⎪
⎩
𝑥
2
⎫4
⎪
⎭
+
+
1
1!3!
⎧
⎪
⎩
𝑥
2
⎫6
⎪
⎭
+…+
1
(𝑛-1)!𝑛!
⎧
⎪
⎩
𝑥
2
⎫2𝑛
⎪
⎭
+…
⎤
⎥
⎦
(γ= 0,5772 ... — постоянная Эйлера). Когда 𝑥 велико, 𝑓(𝑥) представляется асимптотическим рядом
𝑓(𝑥)
∼
⎧
⎪
⎩
π
2
⎫½
⎪
⎭
𝑒
-𝑥
𝑥
½
⎡
⎢
⎣
1+
1⋅3
8𝑥
-
1⋅3⋅5
2!
⎧
⎪
⎩
1
8𝑥
⎫²
⎪
⎭
+
+
1⋅3⋅1⋅3⋅5
3!
⎧
⎪
⎩
1
8𝑥
⎫³
⎪
⎭
-…+
(-1)
𝑛+1
1⋅3⋅5…(2𝑛-3)⋅1⋅3…(2𝑛-1)
𝑛!(8𝑥)𝑛
⎤
⎥
⎦
.
Для составляющей силы, действующей на электрон в направлении, параллельном направлению движения частицы, имеем (см. рис. 1 на стр. 68)
𝐹
2
=
𝑒𝐸
𝐴𝐵
𝐴𝐶³
=
𝑒𝐸𝑉𝑡
(𝑉²𝑡²+𝑝²)3/2
=
𝑚ψ(𝑡)
.
Для энергии, передаваемой электрону при столкновении, получаем таким же образом, как и раньше (учитывая, что 𝑚ψ(𝑡) — нечётная функция 𝑡),
𝑄
2
=
𝑚
2
⎡
⎢
⎣
∞
∫
-∞
sin 𝑛𝑧
ψ(𝑧)
𝑑𝑧
⎤2
⎥
⎦
.
Подставляя выражение для ψ(𝑧), находим
𝑄
2
=
𝑒²
2𝑚
𝐸²𝑉²
⎡
⎢
⎣
∞
∫
-∞
𝑧 sin 𝑛𝑧 𝑑𝑧
(𝑉²𝑧²+𝑝²)3/2
⎤
⎥
⎦
,
или
𝑄
2
=
2𝑒²𝐸²
𝑚𝑉²𝑝²
𝑔²
⎧
⎪
⎩
𝑛𝑝
𝑉
⎫
⎪
⎭
,
где
𝑔(𝑥)
=-
1
2
∞
∫
-∞
𝑧 sin 𝑥𝑧
(𝑧²+1)3/2
𝑑𝑧
=
𝑥
2
∞
∫
-∞
cos 𝑥𝑧
(𝑧²+1)1/2
=
𝑓'(𝑥)
;
здесь 𝑓(𝑥) имеет тот же смысл, что и раньше.
Энергия движения электрона в направлении, перпендикулярном направлению движения частицы, всегда меньше для связанного электрона, чем для свободного. Это соотношение, однако, не справедливо для движения электрона в направлении движения частицы.
Для полной энергии, переданной электрону при столкновении, получаем
𝑄
=
𝑄
1
+𝑄
2
=
2𝑒²𝐸²
𝑚𝑉²𝑝²
⋅𝑃
⎧
⎪
⎩
𝑛𝑝
𝑉
⎫
⎪
⎭
,
(2)
где 𝑃(𝑥)=𝑓²(𝑥)+𝑔²(𝑥) равно 1 при 𝑥=0 и при больших 𝑥 очень быстро убывает с ростом 𝑥. Заметим, что при 𝑥=0 𝑃'(𝑥)=0.
Рассмотрим теперь прохождение частицы через вещество. Пусть 𝑁 —число атомов в единице объёма, и каждый атом содержит 𝑟 электронов, частота собственных колебаний которых равна 𝑛. Пусть, далее, 𝑎 константа, много бо́льшая λ, но малая по сравнению с 𝑉/𝑛 (см. стр. 67). Тогда для полной энергии 𝑑𝑇, переданной электронам частицей, прошедшей путь 𝑑𝑥, имеем
𝑑𝑇
=
𝑁𝑟
⎡
⎢
⎣
𝑎
∫
0
𝑄
0
2π𝑝
𝑑𝑝
+
∞
∫
𝑎
𝑄
2π𝑝
𝑑𝑝
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑥
.
C помощью формул (1) и (2) получаем отсюда
𝑑𝑇
=
4π𝑒²𝐸²𝑁𝑟
𝑚𝑉²
⎡
⎢
⎣
𝑎
∫
0
𝑝 𝑑𝑝
𝑝²+λ²
+
∞
∫
𝑎
1
𝑝
𝑃
⎧
⎪
⎩
𝑛𝑝
𝑉
⎫
⎪
⎭
𝑑𝑝
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑥
.
Пренебрегая величинами порядка (λ/𝑎)² (см. выше), имеем
𝑑𝑇
=
4π𝑒²𝐸²𝑁𝑟
𝑚𝑉²
⎡
⎢
⎣
ln
𝑎
λ
+
∞
∫
𝑎𝑛/𝑉
1
𝑧
𝑃(𝑧)
𝑑𝑧
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑥
=
=
4π𝑒²𝐸²𝑁𝑟
𝑚𝑉²
⎡
⎢
⎣
ln
𝑎
λ
-
ln
𝑎𝑛
𝑉
⋅
𝑃
⎧
⎪
⎩
𝑎𝑛
𝑉
⎫
⎪
⎭
-
∞
∫
𝑎𝑛/𝑉
ln 𝑧
⋅
𝑃'(𝑧)
𝑑𝑧
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑥
.
В соответствии с нашим предположением 𝑎𝑛/𝑉 очень мало. Поэтому мы можем положить 𝑃(𝑎𝑛/𝑉)=1 и в дальнейшем принять в качестве пределов интегрирования 0 и ∞ (так как 𝑃'(0)=0).
Полагая
∞
∫
0
ln 𝑧
⋅
𝑃'(𝑧)
𝑑𝑧
=
-ln 𝑘
,
мы получаем, таким образом,
𝑑𝑇
=
4π𝑒²𝐸²𝑁𝑟
𝑚𝑉²
ln
⎡
⎢
⎣
𝑉³𝑘𝑀𝑚
𝑛𝑒𝐸(𝑀+𝑚)
⎤
