1 J Ср .1, II, а также: С. G. Darwin. Phil. Mag., 1912, 23, 907.
где 2θ — угол отклонения частицы от первоначального направления движения при столкновении. Введём для краткости следующее обозначение:
λ=
𝑒𝐸(𝑚+𝑀)
𝑉²𝑚𝑀
.
Направление скорости электрона после столкновения будет составлять угол π/2-θ с направлением движения частицы до столкновения, а её величина будет равна
𝑣=
𝑉
𝑚
𝑀+𝑚
⋅2sin θ.
Следовательно, энергия, переданная электрону при столкновении, будет
𝑄
0
=
2𝑚𝑀²𝑉²
(𝑚+𝑀)²
⋅sin²θ.
(1)
Далее, легко найти, что смещение электрона в направлении, перпендикулярном направлению движения частицы, к моменту наибольшего их сближения равно 𝑒𝐸/𝑚𝑉² cos θ. Мы видим, что если расстояние 𝑝 велико по сравнению с λ то угол θ будет очень мал, и скорость электрона после столкновения будет почти перпендикулярна направлению движения частицы. Смещение электрона при столкновении в этом случае будет очень мало по сравнению с 𝑝.
Рассмотрим теперь силы, действующие на электроны со стороны атомов. Предположим пока, что собственные частоты электронов так малы, что для столкновений, при которых расстояние 𝑝 по порядку величины равно λ, время столкновения очень мало по сравнению с периодом колебаний. Как мы увидим далее, для лёгких элементов это соотношение может выполняться. В этом случае мы должны учитывать действие рассматриваемых сил лишь при таких столкновениях, когда 𝑝 велико по сравнению с λ. Это существенно упрощает расчёты, так как мы можем принять, что смещение при столкновении пренебрежимо мало по сравнению с 𝑝. В дальнейшем мы будем рассматривать отдельно движение электронов в направлениях, параллельном и перпендикулярном направлению движения частицы. Полная энергия, переданная электрону при столкновении, будет при этом равна сумме энергий, соответствующих этим двум движениям.
Рис. 1
На рис. 1 линия АВ изображает траекторию частицы, которая при рассматриваемых здесь столкновениях (т. е. при 𝑝, много большем λ) очень близка к прямой линии, 𝐴 — положение частицы в момент времени 𝑡, 𝐶 — среднее положение электрона; 𝐵𝐶 перпендикулярно 𝐴𝐵. В соответствии с введёнными обозначениями 𝐵𝐶=𝑝. Полагая, что частица находилась в точке 𝐵 в момент 𝑡=0, имеем 𝐴𝐵=𝑉𝑡.
Для составляющей силы, действующей на электрон в направлении 𝐶𝐵 имеем
𝐹
1
=
𝑒𝐸
𝐵𝐶
𝐴𝐶³
=
𝑒𝐸𝑝
(𝑉²𝑡²+𝑝²)3/2
=
𝑚φ(𝑡).
Уравнение движения электрона в направлении, перпендикулярном направлению движения частицы, имеет вид
𝑑²𝑥
𝑑𝑡²
+
𝑛²𝑥
=
φ(𝑡),
где 𝑛 — частота, возбуждаемая рассматриваемой силой.
Решение этого уравнения, удовлетворяющее следующим условиям:
𝑥=0 и
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=0 при 𝑡=-∞,
представляется в виде1
𝑥=
1
𝑛
𝑡
∫
0
sin 𝑛(𝑡-𝑧)
φ(𝑧)
𝑑𝑧
,
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
𝑡
∫
0
cos 𝑛(𝑡-𝑧)
φ(𝑧)
𝑑𝑧
.
1 См.: Rayleigh. «Theory of Sound», I, 75. Для последующего анализа см. также J. Н. Jeans. «Kinetic Theory of Gases», 198.
Здесь предполагается, что электрон до соударения с частицей покоился. Если же предположить, что электроны в атоме до столкновения находились в движении, это приведёт к возникновению в формулах для 𝑥 и 𝑑𝑥/𝑑𝑡 дополнительных членов, которые, однако, не войдут в выражение для среднего значения передаваемой энергии. (Заметим, что для справедливости приведённых расчётов необходимо, чтобы размеры орбит электронов были малы по сравнению с 𝑝; относительно выполнимости этого условия см. ниже, стр. 73.)
Для суммы кинетической энергии электрона в момент времени 𝑡 и его потенциальной, энергии, связанной с его смещением относительно этого положения, мы имеем теперь
𝑚
2
⎧
⎪
⎩
𝑑𝑥
𝑑𝑡
⎫²
⎪
⎭
+
𝑚𝑛²
2
𝑥²
=
𝑚
2
⎡
⎢
⎣
𝑡
∫
0
cos 𝑛𝑧⋅φ(𝑧)𝑑𝑧
⎤²
⎥
⎦
+
𝑚
2
⎡
⎢
⎣
𝑡
∫
0
sin 𝑛𝑧⋅φ(𝑧)𝑑𝑧
⎤²
⎥
⎦
.
Для передаваемой электрону при соударении энергии, связанной с его движением, перпендикулярным направлению движения частицы, получаем, замечая, что в этом случае φ(𝑧) — чётная функция аргумента,
𝑄
1
=
𝑚
2
⎡
⎢
⎣
∞
∫
-∞
cos 𝑛𝑧⋅φ(𝑧)𝑑𝑧
⎤²
⎥
⎦
.
Подставляя сюда выражение для φ(𝑧), имеем
𝑄
1
=
𝑒²
2𝑚
𝐸²𝑝²
⎡
⎢
⎣
∞
∫
-∞
cos 𝑛𝑧⋅𝑑𝑧
(𝑉²𝑧²+𝑝²)3/2
⎤²
⎥
⎦
,
или
𝑄
1
=
2𝑒²𝐸²
𝑚𝑉²𝑝²
𝑓²
⎧
⎪
⎩
𝑛𝑝
𝑉
⎫
⎪
⎭
,
где функция
𝑓(𝑥)
=
1
2
∞
∫
-∞
cos 𝑥𝑧
(𝑧²+1)3/2
𝑑𝑧
может быть представлена при всех значениях 𝑥 в виде сходящегося ряда
𝑓(𝑥)
=
1-
1
1!2!
3
1⋅2
⎧
⎪
⎩
𝑥
2
⎫4
⎪
⎭
-
1
2!3!
⎧
⎪
⎩
3
1⋅2
+
5
2⋅3
⎫
⎪
⎭
⎧
⎪
⎩
𝑥
2
⎫6
⎪
⎭
…-
-
1
(𝑛-1)!𝑛!
⎧
⎪
⎩
3
1⋅2
+
5
2⋅3
+…
2𝑛-1
(𝑛-1)⋅𝑛
⎫
⎪
⎭
⎧
⎪
⎩
