III. Величины 𝐽𝑟, в определении которых остаётся неопределённой аддитивная постоянная, должны быть определены таким образом, чтобы интеграл, распространенный на механическое движение системы,
𝑡
∫
𝑡0
∑
𝑝
𝑟
𝑑𝑞
𝑟
,
называемый обычно «действием» и не зависящий от выбора координат, для любого движения системы отличался бы от «униформированной» величины действия,
𝑡
𝑢
∫
∑
𝑡0
1
𝐽
𝑟
𝑑𝑤
𝑟
=
(𝑡-𝑡
0
)
∑
𝐽
𝑟
𝑤
𝑟
,
(8)
только множителем, периодически зависящим от времени.
Предположение об отсутствии линейного соотношения типа (3) между величинами ω𝑟 не означает, однако, ограничения общности применительно к униформированным переменным. При наличии такой связи переменные 𝐽 и 𝑤 всегда можно было бы заменить путём соответствующего преобразования линейной комбинацией этих переменных с целочисленными коэффициентами, в результате чего число 𝑢 пар переменных 𝐽𝑟 и 𝑤𝑟 уменьшится на единицу при одновременном увеличении на единицу числа пар сопряжённых величин α и β, которые мы будем называть постоянными орбиты 1.
1 Благодаря участию большого числа авторов, к которым относится и сам Планк, вывод условий для определения стационарных состояний непрерывно совершенствуется. Мы не будем останавливаться здесь на этом развитии, поскольку в I (см. прим. 1 на стр. 482) приведено подробное изложение этих вопросов и список литературы. Для последующего изложения напомним лишь об одном. Для чисто периодических систем (𝑢 = 1) условие (А) равносильно тому, что интеграл действия, взятый за один период, равен целому, кратному постоянной Планка. Для многократно периодических систем уравнения движения могут быть решены путём «разделения» переменных, т. е. для этих систем может быть найдена группа таких координат 𝑞1, …, 𝑞𝑠 что во время движения каждый сопряжённый импульс 𝑝𝑟 зависит только от соответствующей координаты 𝑞𝑟. Если степень периодичности движения равна числу степеней свободы (𝑢 = 𝑠), то в соответствии с теорией, разработанной Вильсоном и Зоммерфельдом и особенно Эпштейном, стационарные состояния определяются соотношениями (А), тогда как каждая из величин 𝐽𝑟 равна «выделенному» элементу действия ∫𝑝𝑟𝑑𝑞𝑟 где интеграл берётся по полному периоду изменения соответствующих значений 𝑞. Если степень периодичности меньше числа степеней свободы, то систему часто называют «вырожденной». В этом случае входящие в условия (А) величины 𝐽 уже не могут определяться непосредственно путём решения уравнений движения с помощью разделения переменных. Это ясно уже потому, что в некоторых таких случаях в различных системах координат возможно разделение переменных, которое влечёт за собой различное значение указанных элементов действия. В пределах общего класса многократно периодических систем системы, допускающие разделение переменных, образуют семейство. Движение систем этого семейства может рассматриваться как переходная форма между частным случаем, когда движение разделяется на несколько чисто периодических во времени компонент, соответствующих различным «независимым степеням свободы», и общим случаем, когда с помощью формулы (2) движение может быть представлено в виде гармонических компонент. Как показано в тексте, все известные движения этого вида могут быть описаны несколькими у информированными переменными. По аналогии с небесной механикой такие переменные называют «угловыми» переменными. Применение в квантовой теории униформированных переменных аналитической теории, как известно, восходит к Шварцшильду. Обобщённое изложение теории дано в диссертации Бургерса (Het Atoommodel van Rutherford — Bohr. Haarlem, 1918). Этот автор впервые ввёл условие, эквивалентное условию III, чем существенно уточнил теорию стационарных состояний многократно периодических систем (ср. примечание 2 на стр. 495).
§ 3. Определение стационарных состояний системы в присутствии внешнего консервативного поля
При попытке более детально осветить условия, определяющие стационарные состояния, возникает прежде всего вопрос: каким образом требование квантовой теории относительно стабильности стационарных состояний связано с представлениями классической теории о влиянии внешних сил на систему или о взаимодействии двух таких систем? Обсуждение этих вопросов начнём с исследования случая, когда внешние силы представляют собой консервативное поле, постоянное во времени. Если в этом случае решение уравнений движения [которые задаются уравнениями (1), если в выражение для энергии входит также потенциальная энергия системы по отношению к внешним силам] также имеет многократно периодический характер, то мы имеем дело с проблемой, которая по существу не отличается от проблемы определения стационарных состояний замкнутой системы. Поэтому примем, что в присутствии внешних сил система имеет ряд стационарных состояний, определяемых условиями (А).
Во многих физических приложениях, когда внешние силы малы по сравнению с силами, действующими между частицами, вопрос о влиянии внешних сил решается весьма наглядно. При этом изменение стационарных состояний связывается непосредственно с изменением движения системы, вызванным внешними силами, так называемыми «возмущениями». Эти возмущения описываются с помощью обычных методов аналитической механики, поскольку в каждый момент времени рассматривается так называемое «касательное» движение, т. е. движение, которое возникло бы, если бы в рассматриваемый момент времён и действие внешних сил неожиданно прекратилось. Поскольку мы принимаем, что невозмущённое движение носит многократно периодический характер, касательное движение может быть описано некоторым числом униформированных переменных указанного выше вида. Тогда изменение этих переменных во времени будет описываться с помощью следующих уравнений:
𝑑𝐽𝑟
𝑑𝑡
=-ε
∂Ω
∂𝑤𝑟
,
𝑑𝑤𝑟
𝑑𝑡
=
ω
𝑟
+ε
∂Ω
∂𝐽𝑟
(𝑟=1, …, 𝑢),
𝑑α𝑖
𝑑𝑡
=-ε
∂Ω
∂β𝑖
,
𝑑β𝑖
𝑑𝑡
=
ω
𝑟
+ε
∂Ω
∂α𝑖
(𝑖=1, …, 𝑠-𝑢),
(9)
где εΩ — потенциал внешних сил, как функция упомянутых «касательных» униформированных переменных. Постоянный коэффициент ε представляет собой малую величину, пропорциональную интенсивности внешних сил. В соответствии с условием I, действительным для униформированных переменных, функция Ω может быть записана в виде:
Ω=Ψ
0
(
𝐽
1
, …, 𝐽
𝑢
,
α
1
, …, α
𝑠-𝑢
,
β
1
, …, β
𝑠-𝑢
)+
+
∑
τ1…τ𝑢
Ψ
τ1…τ𝑢
cos 2π
(τ
1
𝑤
1
