𝑑𝑝𝑘
𝑑𝑡
=-
∂𝐸
∂𝑞𝑘
,
𝑑𝑞𝑘
𝑑𝑡
=
∂𝐸
∂𝑝𝑘
(𝑘=1,…,𝑠),
(1)
где 𝑠 — число степеней свободы, равное числу независимых переменных, необходимому для описания положения частиц относительно системы координат, в которой система в целом может рассматриваться покоящейся; далее здесь 𝑞1, …, 𝑞2 — обобщённые координаты, определяющие положение частиц в этой системе координат; 𝑝1, …, 𝑝2 — импульсы, сопряжённые этим координатам; 𝐸 — функция переменных 𝑝 и 𝑞, представляющая полную энергию системы. Согласно классической теории полная энергия в достаточно хорошем приближении определяется взаимным расположением и скоростями частиц.
Из уравнений (1) непосредственно следует постоянство энергии при движении в стационарных состояниях. Однако несмотря на это, решение уравнений (1) в общем имеет весьма запутанный характер и не является достаточным для установления и описания стационарных состояний системы. При этом оказывается необходимым, чтобы движение заключало в себе некоторые определённые свойства периодичности 1. В тех случаях, когда с помощью уравнений движения (1) можно получить разумное определение стационарных состояний, общее решение этих уравнений носит так называемый однократно или многократно периодический характер. Мы должны быть готовы к тому, что в сложных случаях уравнения (1) также будут недостаточны в указанном приближении, связанном с пренебрежением реакцией излучения, для описания движения в стационарных состояниях (ср. стр. 497).
1 В основу общего рассмотрения применения квантовой теории к атомным системам Планк (Beri. Вег., 1918, стр. 435) положил физические принципы, существенно отличающиеся от наших основных постулатов; в качестве необходимого условия для квантования принимается, что для систем с более чем одной степенью свободы, кроме интеграла энергии, существует по крайней мере 𝑠-1 других однозначных интегралов уравнений (1), которые в 2𝑠-мерном фазовом пространстве могут служить для определения 𝑠-мерных областей, внутри которых во время движения остаётся изображающая точка. Как отметил Кнезер (Math. Ann., 1921, 84, 277), такое требование по существу тождественно наличию в общем решении уравнений движения свойств периодичности указанного типа.
§ 2. Определение стационарных состояний однократно и многократно периодических систем
Рассмотрим в качестве такого рода системы такую, для которой любое движение, описываемое уравнениями (1), характеризуется тем, что, несмотря на случайный характер равномерного поступательного движения системы в целом, смещение каждой отдельной частицы в пространстве может быть разложено в ряд гармонических колебаний. Смещение частицы в заданном направлении может быть представлено как функция времени
ξ=
∑
𝐶
τ1…τ𝑢
cos 2π
[
(τ
1
ω
1
+…+τ
𝑢
ω
𝑢
)𝑡
+
γ
τ1…τ𝑢
],
(2)
где ω1,…,ω𝑢 — так называемые частоты основных колебаний, число которых 𝑢 мы назовём «кратностью периодичности». Суммирование должно производиться но всем целым значениям чисел τ1,…,τ𝑢. Однозначность указанного решения обусловлена тем, что величины ω1,…,ω𝑢 не связаны между собой соотношением вида
𝑚
1
ω
1
+…+𝑚
𝑢
ω
𝑢
=0,
(3)
где 𝑚1, …, 𝑚𝑢 — последовательность целых чисел.
Стационарные состояния такой системы определяются совокупностью условий, которые могут рассматриваться как обобщение первоначальной гипотезы Планка об особых состояниях простого гармонического осциллятора. Эти правила квантования, число которых равно степени периодичности, могут быть записаны в следующей форме:
𝐽
1
=𝑛
1
ℎ,
…
𝐽
𝑢
=𝑛
𝑢
ℎ,
(A)
где ℎ — постоянная Планка, 𝑛1, …, 𝑛𝑢 — ряд целых чисел, так называемых квантовых чисел, a 𝐽1, …, 𝐽𝑢 — некоторые величины, определяющие движение системы и тесно связанные со свойствами её периодичности. Эти величины проще всего определить как сопряжённые моменты некоторого числа аналитических переменных, которые целесообразно обозначить как «униформированные» и которые могут характеризоваться следующим образом.
Входящие в уравнение (1) обобщённые координаты 𝑞1, …, 𝑞𝑠 и канонически сопряжённые им импульсы 𝑝1, …, 𝑝𝑠 могут быть выражены с помощью следующей новой системы из 𝑠 пар канонически сопряжённых переменных:
𝑤
1
, 𝑤
2
, …, 𝑤
𝑢
,
β
1
, β
2
, …, β
𝑠-𝑢
,
𝐽
1
, 𝐽
2
, …, 𝐽
𝑢
,
α
1
, α
2
, …, α
𝑠-𝑢
,
(4)
при этом первый ряд переменных соответствует координатам 𝑞 в канонических уравнениях (1), а второй — импульсам 𝑝. Эти новые переменные должны удовлетворять следующим трём условиям.
I. Величины 𝑝 и 𝑞 являются периодическими относительно каждой из переменных 𝑤1, 𝑤2, …, 𝑤𝑢 с периодом, равным 1, т. е. любая координата 𝑞𝑟 может быть записана в виде бесконечного тригонометрического ряда от многих переменных
𝑞
𝑟
=
∑
𝐶
τ1…τ𝑢
cos 2π
(τ
1
ω
1
+…+τ
𝑢
ω
𝑢
+
γ
τ1…τ𝑢
),
(5)
где 𝐶 и γ зависят только от 𝐽, α и β, а суммирование производится по всем комбинациям целых чисел τ1, …, τ𝑢.
II. Энергия системы, рассматриваемая как функция новых переменных, зависит только от величин 𝐽1, …, 𝐽𝑢. Согласно каноническим уравнениям, это условие влечёт за собой то, что в процессе любого движения переменные 𝐽1, …, 𝐽𝑢, α и β остаются постоянными, тогда как переменные 𝑤1, …, 𝑤𝑢 изменяются линейно во времени
𝑤
𝑟
=
ω
𝑟
𝑡
+
δ
𝑟
(𝑟=1, …, 𝑢),
(6)
где
ω
𝑟
=
∂𝐸
∂𝐽𝑟
(𝑟=1, …, 𝑢).
(7)
Тогда из соотношения (6) и условия I следует, что в заданном направлении любая координата 𝑞𝑟 (и тем самым составляющие результирующих электрических моментов системы) может быть выражена в зависимости от времени с помощью соотношения, полученного из формулы (2).
