+…+τ

_𝑢

𝑢

_𝑤

+γ

_τ1…τ𝑢

)

,

(10)

где величины Ψ во втором члене правой части так же, как и Ψ₀, зависят от переменных 𝐽₁, …, 𝐽_𝑢, α₁, …, α_𝑠-𝑢, β₁, …, β_𝑠-𝑢. То же самое относится и к величинам γ. Суммирование должно производиться по всем комбинациям целых положительных и отрицательных значений, за исключением комбинации τ₁=τ₂=…=τ_𝑢=0. Первый член, соответствующий этой комбинации, пропорционален среднему значению потенциала внешних сил, взятому по движению невозмущённой системы.

Характер возмущений, определяемых уравнениями (9), будет существенно различным в зависимости от того, являются ли величина Ψ₀ и энергия невозмущённого движения функциями только переменных 𝐽₁, …, 𝐽_𝑢 или также и переменных α и β, как это должно быть в общем случае, когда 𝑢 меньше 𝑠. В первом случае возмущения всегда будут носить многократно периодический характер, а стационарные состояния возмущённой системы будут определяться тем же количеством условий, что и стационарные состояния невозмущённой системы. Чтобы аналитически задать явные условия для стационарных состояний возмущённой системы, надо ввести новые, униформированные переменные для этой системы. Такая замена переменных означает, как известно, точечное преобразование. В этом случае соотношения будут особенно просты, поскольку вследствие того, что коэффициент ε принимается малым, новые униформированные переменные, которые мы будем обозначать штрихом, по своему значению лишь незначительно отличаются от униформированных переменных первоначальной системы. Пренебрегая высшими степенями, мы можем записать точечные преобразования в виде

𝐽'=𝐽+ε

∂𝑆

∂𝑤

,

α'=α+ε

∂𝑆

∂β

,

𝑤'=𝑤-ε

∂𝑆

∂𝐽

,

β'=β-ε

∂𝑆

∂α

,

(11)

где 𝑆 — функция переменных 𝐽, 𝑤, α и β. Если положить

𝑆=+

1

2π

∑

^{τ₁…τ_𝑢}

Φ_τ1…τ𝑢

τ₁ω₁+…+τ_𝑢ω_𝑢

×

×

sin 2π

(τ

₁

𝑤

₁

+…+τ

_𝑢

𝑢

_𝑤

+γ

_τ1…τ𝑢

)

,

(12)

где суммирование производится по всем комбинациям целых чисел τ, за исключением τ₁=…=τ_𝑢=0, то легко найти новые переменные, удовлетворяющие условиям I, II и III, с помощью которых могут быть представлены униформированные переменные для новой системы. Общая энергия возбуждённой системы, если снова пренебречь второй и более высокими степенями ε, задаётся следующим выражением:

𝐸'=

𝐸(𝐽

₁

',…,𝐽

_𝑢

')

+εΨ

₀

(𝐽

₁

',…,𝐽

_𝑢

')

,

(13)

где 𝐸 — энергия невозмущённой системы. Стационарные состояния будут при этом определяться соотношениями (A), если только вместо переменных 𝐽₁,…,𝐽_𝑢 мы введём величины 𝐽₁',…,𝐽_𝑢',

𝐽

_𝑘

'

=

𝑛

_𝑘

ℎ

(𝑘=1,…,𝑢).

(14)

Из выражения (13) непосредственно следует, что изменение энергии стационарных состояний в присутствии внешних сил в первом приближении равно усредненному по движению невозмущённой системы значению потенциальной энергии относительно внешнего поля.

В случае, когда Ψ₀ кроме 𝐽' зависит также и от величин α и β, возмущения будут существенно иными, поскольку в этом случае появятся так называемые «секулярные» возмущения. Как видно из уравнений (9) и (10), значения α и β, кроме колебаний многократно периодического характера с периодами, равными периодам невозмущённого движения, и амплитудами, пропорциональными внешним силам, будут подвергаться также медленным изменениям, которые с течением времени приведут к заметным отличиям в движении системы. Если эти изменения носят однократно или многократно периодический характер, движение возмущённой системы также будет многократно периодическим, но с более высокой «кратностью» периодичности, чем невозмущённое движение. При этом за счёт секулярных возмущений к частоте 𝑢, соответствующей основной частоте колебаний невозмущенного движения, будут добавляться частоты, значения которых пропорциональны интенсивности внешних сил.

Простого точечного преобразования недостаточно для аналитической трактовки этой проблемы. Если мы снова произведем преобразование, определяемое соотношениями (11) и (12), то увидим, что из выражения для энергии исчезли величины 𝑤 тогда как величины α и β остались. Для энергии возмущённой системы будет сохраняться та же форма

𝐸'=

𝐸(𝐽

₁

',…,𝐽

_𝑢

')

+

+

εΨ

₀

(

𝐽

₁

', …, 𝐽

_𝑢

'

,

α

₁

', …, α

_𝑠-𝑢

'

,

β

₁

', …, β

_𝑠-𝑢

'

),

(15)

где величины α' и β' вообще говоря, изменяются во времени. Пренебрегая величинами, пропорциональными ε² такое изменение можно представить уравнениями

𝑑α_𝑘'

𝑑𝑡

=

-ε

∂Ψ₀

∂β_𝑘

;

𝑑β_𝑘'

𝑑𝑡

=

-ε

∂Ψ₀

∂α_𝑘

(𝑘=1, …, 𝑠-𝑢)

(16)

Эти уравнения, описывающие секулярные возмущения, имеют ту же каноническую форму, что и уравнения движения (1). Проблема, возникающая при определении стационарных состояний с помощью условий (A), сводится к проблеме, аналогичной определению стационарных состояний системы с 𝑠-𝑢 степенями свободы. В случае, когда решение уравнений (16) имеет однократно периодический или многократно периодический характер со степенью периодичности 𝑢'-𝑢, можно будет ввести группу униформированных переменных

𝑤'

_𝑢+1

, …, 𝑤'

_𝑢'

β''

₁

, …, β''

_𝑠-𝑢'

𝐼'

_𝑢+1

, …, 𝐼'

_𝑢'

α''

₁

, …, α''

_𝑠-𝑢'

которые пригодны для описания заданных уравнениями (16) секулярных возмущений, так же, как переменные (4), пригодны для описания движения многократно периодической системы, представляемой каноническими уравнениями (1). Стационарные состояния будут теперь определяться с помощью 𝑢' условий типа (А), а именно: кроме 𝑢 условий (14) также и 𝑢'-𝑢 добавочными условиями