ω

_𝐹

=

3𝐼

8π²𝑒𝑚

𝐹

,

(37)

где 𝐹 — напряжённость электрического поля ².

Прежде чем переходить к определению стационарных состояний, мы исследуем, какое отношение эти результаты имеют к разложению движения электрона на гармонические компоненты. С этой целью рассмотрим движение относительно системы координат, совершающей равномерное вращение вокруг оси рассматриваемой системы в том же направлении, в котором вращается её электрический центр, с частотой σ. Вследствие гармонического характера колебаний электрического центра это движение может быть, очевидно, описано как движение по периодической орбите, форма и положение которой будут меняться с частотой, равной 2ω_𝐹. Такое движение будет двукратно периодическим с частотами ω₁ и ω₂, где ω₂ можно положить равной 2ω_𝐹, тогда как ω₁ равна средней частоте обращения электрона по его приблизительно периодической орбите, вычисленной от перигелия до перигелия. Эта частота в используемой системе координат, очевидно, равна средней частоте обращения электрона вокруг оси. Поэтому движение можно рассматривать как суперпозицию эллиптических гармонических колебаний с частотами τ₁ω₁ + τ₂ω₂, где τ₁ и τ₂ — целые числа. Возвращаясь теперь к неподвижной системе координат, мы видим, что движение может быть разложено на последовательность линейных гармонических колебаний вдоль оси с частотами τ₁ω₁ + τ₂ω₂ и две последовательности круговых гармонических вращений вокруг этой оси с частотами τ₁ω₁ + τ₂ω₂±ω_𝐹. Введём теперь в качестве фундаментальных частот возмущённого движения величины ω и ω_𝐹, где ω — средняя частота вращения электрона вокруг оси, равная поэтому ω₁+ω_𝐹 или ω₁+ω_𝐹, в зависимости от того, вращается электрический центр в том же направлении вокруг оси, что и сам электрон, или же в обратном ему. Обозначив смещение электрона, параллельное оси, через ξ, мы получим

ξ=

∑

𝐶

_τ,τ𝐹

cos 2π

[

𝑡(τω+τ

_𝐹

ω

_𝐹

)

+

𝐶

_τ,τ𝐹

],

(38)

где величина τ+τ_𝐹, равная 2(τ₁+τ₂) или 2τ₂, всегда должна быть чётным целым числом. Для смещения в направлении, перпендикулярном оси, находим аналогичное выражение

η=

∑

𝐷

_τ,τ𝐹

cos 2π

[

𝑡(τω+τ

_𝐹

ω

_𝐹

)

+

𝑑

_τ,τ𝐹

],

(39)

где величина τ+τ_𝐹, равная 2(τ₁+τ₂)±1 или 2τ₂±1, всегда должна быть нечётным целым числом.

Стационарные состояния этого двукратно периодического движения задаются двумя квантовыми условиями, которые могут быть записаны в виде

𝐼=𝑛ℎ, 𝐼

_𝐹

=𝑛

_𝐹

ℎ,

(40)

где величины 𝐼 и 𝐼_𝐹 связаны с полной энергией системы и функцией действия с помощью соотношений

δ𝐸=ωδ𝐼+ω

_𝐹

δ𝐼

_𝐹

(41)

и

ω𝐼+ω

_𝐹

𝐼

_𝐹

=

𝐴

,

(42)

которые соответствуют условиям (22) и (23). Рассмотрим вначале особенно простой случай, когда электрон движется по круговой орбите в плоскости, перпендикулярной оси. Для такой орбиты зависимость 𝐸 и 𝐴 от ω, очевидно, будет такой же, как и в случае простого кеплеровского движения, поскольку мы имеем дело только с величинами, пропорциональными внешнему полю. Поэтому из соотношений (41) и (42) следует, что 𝐼_𝐹 в этом случае обращается в нуль, тогда как 𝐼 совпадает с величиной, задаваемой формулой (13) для простой периодической орбиты. Так как ω_𝐹 в первом приближении зависит только от 𝐼, то из этого мы заключаем, что для энергии возмущённого атома можно записать следующее общее выражение:

𝐸=𝐸

₀

(𝐼)+ω

_𝐼

𝐹

_𝐼

,

(43)

где 𝐸₀(𝐼) описывает энергию для простой кеплеровской орбиты, выраженную в виде функции от 𝐼. Поэтому с помощью формул (23) и (37) находим

𝐸=-

2π²𝑒⁴𝑚

𝐼²

+

3𝐼𝐼_𝐹

8π𝑒²𝑚

𝐹.

(44)

Кинематический смысл второго из квантовых условий (40) следует просто из общей теоремы об адиабатической инвариантности квантовых условий для многократно периодических систем. В самом деле, из рассмотрения процесса медленного включения внешнего поля в соответствии с общей теоремой, сформулированной выше, следует, что изменение энергии атома, вызванное полем, равно ζ𝑒𝐹 где ζ — расстояние от электрического центра до плоскости, перпендикулярной оси и проходящей через ядро. Максимальное значение ζ₀ предельном случае, когда орбита вырождается в прямую линию, параллельную направлению поля, равно 3𝑎/2 где 2𝑎 обозначает длину большой оси кеплеровской орбиты, зависимость которой от 𝐼 выражается последним из равенств (26). Сравнивая со вторым членом в (44), получаем соотношение

ζ=ζ

₀

𝐼_𝐹

𝐼

.

(45)

Это условие накладывает очевидное ограничение на значения, которые может принимать 𝑛_𝐹 в стационарных состояниях, соответствующих данному значению 𝑛. Мы приходим к выводу, что 𝑛_𝐹 может принимать любое из значений 0, ±1, ±2, …, ±(𝑛-1), тогда как предельные значения ±𝑛 следует исключить ввиду сингулярности соответствующего движения.

В связи с правилами квантования (40), быть может, интересно указать, что в том случае, когда приложено магнитное поле, второе квантовое условие обеспечивает связь между добавочной фундаментальной частотой ω_𝐹 за которую ответственно приложенное к атому поле, и возможными значениями энергии атома в поле. Указанная связь полностью аналогична формуле (16) для возможных значений энергии простого планковского осциллятора. Это замечание проясняет физическую сторону проблемы воздействия поля на стационарные состояния атома. Едва ли следует ещё раз подчёркивать, что ни при рассмотрении действия магнитного поля, ни в случае электрического поля не достаточно основываться только на применении адиабатического принципа к проблеме медленного включения поля. Это видно непосредственно из факта полной свободы ориентации атома в пространстве в отсутствие поля.

Переходя теперь к рассмотрению действия электрического поля на спектральные линии водорода, мы получаем из соотношений (40) и (44) выражение для энергии стационарных состояний атома

𝐸=-

2π²𝑒⁴𝑚

ℎ²

⋅

1

𝑛²

+

3ℎ²𝐹

8π²𝑒𝑚

𝑛𝑛

_𝐹