¹ Р. Epstein. Phys. Zs., 1916, 17, 148; Ann. d. Phys., 1916, 50, 489.

² K. Schwarzschild. Berliner Sitzungsber, April, 1916.

³ A. Sommerfeld. Phys. Zs., 1916, 17, 491.

⁴ P. Debye. Phys. Zs., 1916, 17, 507.

Метод представления квантовых условий, использованный этими авторами, основывался на процедуре, называемой «разделением переменных» в интеграле действия. Она имеет весьма ограниченную область применимости. Метод описания этих условий (которому мы следуем здесь), когда свойства периодичности движения положены в основу рассмотрения, даёт нам во многих случаях более непосредственное понимание физического смысла теоретических построений. Поэтому при последующем обсуждении применения общей теории мы не будем следовать историческому ходу развития этих проблем, а рассмотрим их таким путём, который представляется лучше всего приспособленным для иллюстрации основных черт теории.

V. ВЛИЯНИЕ МАГНИТНЫХ И ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ НА СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЛИНИИ ВОДОРОДА

С помощью общих рассуждений предыдущего раздела подробнее рассмотрим теперь воздействие магнитных и электрических полей на спектральные линии водорода. С этой целью мы будем для простоты пренебрегать тонкой структурой этих линий. Это является допустимым, так как влияние изменения массы на движение электрона очень мало по сравнению с эффектами, вызываемыми внешними магнитными и электрическими полями с теми напряжённостями, которые используются в экспериментах по эффектам Зеемана и Штарка. Это наглядно демонстрируется тем фактом, что расстояние между компонентами тонкой структуры невозмущённых линий водорода намного меньше, нежели смещение компонент, на которые расщепляются линии при этих экспериментах.

Поэтому, как и в разделе III, мы положим, что орбита электрона в невозмущённом атоме имеет вид простого кеплеровского эллипса, для которого частота обращения по нему электрона и большая ось связаны с энергией формулами (7). Вводя величину 𝐼, определяемую согласно соотношению (13), мы получаем из (17)

𝐸=-𝑊=-

2π²𝑒⁴𝑚

𝐼²

, ω=

2π²𝑒⁴𝑚

𝐼³

, 2𝑎=

𝐼²

2π²𝑒²𝑚

(26)

Поэтому для стационарных состояний, вводя 𝐼 = 𝑛ℎ, согласно правилу квантования (12), находим

𝐸

_𝑛

=-

1

𝑛²

2π²𝑒⁴𝑚

ℎ²

, ω

_𝑛

=

1

𝑛³

2π²𝑒⁴𝑚

ℎ³

, 2𝑎

_𝑛

=𝑛

²

ℎ²

2π²𝑒²𝑚

.

(27)

Эти соотношения, конечно, эквивалентны формулам (8) и (9), где величина 𝐾 записана в соответствии с равенством (10). Наконец, из соотношения (4) мы получим для частоты излучения, испущенного при переходе между двумя состояниями, у которых 𝑛 равно 𝑛' и 𝑛'', соответственно

ν=

2π²𝑒⁴𝑚

ℎ³

⎧

⎪

⎩

1

(𝑛'')²

-

1

(𝑛')²

⎫

⎪

⎭

.

(28)

Действие магнитного поля

Рассматривая воздействие магнитного поля, мы прежде всего предположим, согласно теореме Лармора, что движение электрона в атоме водорода при наличии поля отличается от возможного движения в атоме без поля тем, что дополнительно накладывается равномерное вращение вокруг оси, проходящей через ядро и параллельной полю, с частотой ω_𝐻, задаваемой формулой (3). Вследствие этого перемещение электрона в заданном направлении уже не описывается выражением типа (1), справедливым для строго периодической орбиты; это движение слагается из гармонических компонент трёх разных типов. Одной из этих компонент являются линейные колебания, параллельные полю, с частотами τω, где ω — частота обращения по периодической орбите, которую электрон описывает в системе координат, участвующей во вращении, вызванном приложенным полем. Гармонические компоненты остальных двух типов представляют собой круговые вращения в плоскости, перпендикулярной полю, с частотами τω+ω_𝐻 и τω-ω_𝐻 соответственно. Направление вращения в первом случае совпадает с направлением добавочного вращения, тогда как во втором — обратно ему. Обозначив компоненты электрического момента в направлениях, параллельных и перпендикулярных полю, через ξ и η соответственно, имеем

ξ=

∑

𝐶

_τ

cos 2π

(τω𝑡+γ

_τ

)

и

η=

∑

𝐶

_τ±1

cos 2π

((τω±ω

_𝐻

)𝑡+γ

_τ±1

)

.

(29)

Таким образом, движение атома при наличии поля является типичным дважды периодическим движением с фундаментальными частотами, равными ω и ω_𝐻. Поэтому, согласно проведённому в предыдущем разделе анализу, стационарные состояния будут характеризоваться двумя условиями, которые могут быть записаны в виде

𝐼=𝑛ℎ, 𝐼

_𝐻

=𝑛

_𝐻

ℎ.

(30)

Здесь 𝐼 совпадает с величиной, определённой формулой (13), если последнюю применить к периодическому движению атома относительно системы координат, участвующей в вызванном внешним полем вращении. Величина 𝐼_𝐻 равняется произведению 2π на компоненту 𝑀 момента импульса электрона относительно оси этого вращения. В действительности изменение кинетической энергии электрона вследствие этого вращения, как легко видеть, равно в первом приближении 2πω_𝐻𝑀. Поскольку магнитное поле не изменяет потенциальную энергию атома, разность энергий двух соседних движений будет выражаться соотношением

δε

=

ωδ𝐼

+

2πω

_𝐻

δ𝑀

=

ωδ𝐼

+

ω

_𝐻

δ𝐼

_𝐻

,

(31)

которое соответствует условию (15). В то же время условие

ω𝐼

+

ω

_𝐻

𝐼

_𝐻

=

𝐴

,

(32)

которое соответствует (14), как видно, выполняется при любом движении атома в поле. Для полной энергии атома, как функции 𝐼 и 𝐼_𝐻, из формул (3) и (26) получаем

𝐸=-

2π²𝑒⁴𝑚

𝐼²

+

𝑒𝐻

4π𝑚𝑐

𝐼

_𝐻

,

(33)

откуда после подстановки (30) находим энергию стационарных состояний в виде

𝐸=-

2π²𝑒⁴𝑚

ℎ²

1

𝑛²

+

ℎ𝑒𝐻

4π𝑚𝑐

𝑛

_𝐻

.

(34)

Интересно отметить, что динамическое свойство стационарных состояний, выражаемое первым из условий (30), могло бы быть получено непосредственным применением адиабатического принципа Эренфеста. Действительно, как показал Ланжевен ¹ в его работе по атомному магнетизму, медленное наложение однородного внешнего магнитного поля будет вследствие вызываемых им электрических сил воздействовать на движение системы электронов, вращающихся в центральном поле, таким образом, что движение в любой момент времени будет отличаться от первоначального движения только дополнительным вращением с ларморовской частотой. С другой стороны, из самого характера этой проблемы следует, что появление второго из квантовых условий (30) ни в коем случае не может быть описано с помощью представлений, опирающихся на идеи обычной механики и электродинамики. В самом деле, появление этого условия можно рассматривать как следствие того факта, что наличие внешнего поля приводит к новой фундаментальной частоте в движении, атома; поэтому вступает в игру неизвестный доселе квантовый механизм, ответственный за стабильность стационарных состояний. В результате разности энергий различных возможных состояний, соответствующих одному и тому же стационарному состоянию невозмущённого атома, будут связаны с новой частотой таким же образом, как связаны между собой энергия и частота в стационарных состояниях простых периодических систем ². В специальном случае, рассмотренном нами, добавочное периодическое движение атома, вызванное наложенным полем, носит простой гармонический характер. Интересно отметить, что второй член в правой части равенства (34), равный 𝑛_𝐻ω_𝐻ℎ полностью аналогичен первоначальной формуле Планка (16) для возможных значений энергии гармонического осциллятора с той лишь разницей, что в соответствии с характером задачи 𝑛_𝐻 может принимать как отрицательное, так и положительные значения.