В рассмотренном выше случае некоторой периодической системы принцип соответствия устанавливает, что появление перехода между двумя стационарными состояниями, при котором квантовое число меняется с 𝑛' на 𝑛'', обусловлено наличием в электрическом моменте атома (𝑛' - 𝑛'')-й гармоники. Этот результат позволяет нам пролить свет на заметное отличие между правилами, управляющими появлением переходов между двумя стационарными состояниями в случае планковского осциллятора, с одной стороны, и атома водорода — с другой. В планковской теории теплового излучения так же, как и в классической теории, содержится важное предположение о том, что частота излучения, испускаемого или поглощаемого осциллятором, всегда будет равна характерной частоте колебания. В терминах нашей теории спектров это означает, как видно из сравнения соотношений (4) и (16), что осциллятор может за один этап перейти только между двумя стационарными состояниями, у которых квантовое число 𝑛 отличается лишь на единицу. С другой стороны, интерпретация водородного спектра с необходимостью требует, чтобы были разрешены переходы между любыми парами стационарных состояний атома водорода. Согласно принципу соответствия, это важное отличие непосредственно учитывается тем фактом, что кеплеровское эллиптическое движение электрона в водородном атоме в отличие от чисто гармонического движения планковского осциллятора обладает полной последовательностью высших гармоник.
Благодаря недавнему продвижению в квантовой теории оказалось возможным установить правила квантования не только для простых периодических систем, но также и для систем, в которых движение носит так называемый многократно-периодический характер. Для таких систем смещение каждой частицы, как и изменение электрического момента, может быть ещё описано в виде суперпозиции гармонических колебаний. В отличие от случая простой периодической системы частоты этих колебаний не являются целыми кратными одной фундаментальной частоты, а представляют собой в случае многократно периодической системы со «степенью периодичности», равной 𝑠, линейные комбинации независимых фундаментальных частот и, таким образом, описываются формулой
ξ=
∑
𝐶
τ1,…,τ𝑠
cos 2π
[
(τ
1
ω
1
+…+τ
𝑠
ω
𝑠
)
𝑡+γ
τ1,…,τ𝑠
],
(20)
где ω1,…,ω𝑠 — фундаментальные частоты, а суммирование ведётся по всем отрицательным и положительным значениям целых чисел τ1,…,τ𝑠.
В этом случае стационарные состояния будут задаваться квантовыми условиями
𝐼
1
=𝑛
1
ℎ,
…,
𝐼
𝑠
=𝑛
𝑠
ℎ,
(21)
где 𝑛1, …, 𝑛𝑠 — положительные целые числа. Величины 𝐼𝑖 представляют собой набор величин, выражающих определённые свойства движения. Для периодической системы они по аналогии с определением величины 𝐼 связаны с энергией и фундаментальными частотами движения дифференциальным соотношением
δ𝐸
=
ω
1
δ𝐼
1
+…+
ω
𝑠
δ𝐼
𝑠
,
(22)
описывающим разность энергий двух механически возможных движений системы, которые отличаются очень мало друг от друга. Эти соотношения определяют величины 𝐼1, …, 𝐼𝑠 с точностью до произвольной постоянной, которая задаётся условием
𝐼
1
+…+𝐼
𝑠
=
𝐴
,
(23)
где 𝐴, как и в формуле (14), означает среднее значение той функции 𝐴, которая появляется в интеграле действия.
Рассмотрим переход системы между двумя состояниями, квантовые числа которых заданы в (21) наборами 𝑛'1, …, 𝑛'𝑠 и 𝑛''1, …, 𝑛''𝑠 соответственно в пределе, когда эти квантовые числа велики по сравнению с их разностями. Тогда при сравнительно малом отличии движений в этих двух стационарных состояниях из формулы (22) для частоты излучения, испускаемого при переходе, находим асимптотическое соотношение
ν=
(𝑛'
1
, …, 𝑛''
1
)
ω
1
+…+
(𝑛'
𝑠
, …, 𝑛''
𝑠
)
ω
𝑠
.
(24)
Согласно принципу соответствия, мы будем последовательно считать, что переход между двумя стационарными состояниями многократно периодической системы будет зависеть от наличия в выражении для электрического момента системы компоненты гармонического колебания, для которой в формуле (20) имеем
τ
1
=
𝑛'
1
, …, 𝑛''
1
,…,
τ
𝑠
=
𝑛'
𝑠
, …, 𝑛''
𝑠
.
(25)
Установление правил квантования для периодических и многократно периодических систем является результатом работы многих физиков, включая самого Планка. Может быть, интересно отметить, что общее условие, эквивалентное (12), было использовано впервые Дебаем 1, а условия, похожие на (21), были предложены одновременно Вильсоном 2 и Зоммерфельдом 3.
1 Р. Debуe. Wolfskehl Vortrag. Göottingen, 1913.
2 W. Wilsоn. Phil. Mag., 1915, 29, 795; 1916, 31, 156.
3 A. Sommerfeld. Sitzungsber. der Münchener Akad., 1915, 425, 459.
Среди работ по дальнейшему развитию этой теории следует упомянуть работу Эренфеста 4 об адиабатически инвариантном характере соотношений, определяющих стационарные состояния. Он рассматривает воздействие на движение в стационарном состоянии, которое возникает при медленном и однородном преобразовании силового поля, в котором движутся частицы системы. Он отмечает, что в случае, когда стационарные состояния заданы условиями типа (21) и (22), эффект такого преобразования может быть описан с помощью обычных законов механики. Этот так называемый адиабатический принцип представляет собой естественное обобщение применения механики к описанию движения в самих стационарных состояниях, которое, очевидно, не находится в противоречии с немеханическим характером стабильности этих состояний. Эти проблемы подробно обсуждаются в моей работе, опубликованной несколько лет тому назад, в которой был, кроме того, развит принцип соответствия 5.
4 P. Ehrenfest. Proc. Acad. Amsterdam, 1914, 16, 591; Phil. Mag., 1914, 33, 500; см. также: J. M. Burgers. Phil. Mag., 1917, 33, 514.
5 N. Воhr. On the Quantum-Theory of Line Spectra. D. Kgl. Danske Videnskabernes Selskabs. Skrifter, 1918, 8, iv., 1 (далее цит. как I.— Ред.). Краткий обзор современного состояния теории приводится также в статье: N. Bohr. Ann. d. Phys., 1923, 71, 277.
Первый существенный прогресс в применении теории многократно периодических систем к спектральным проблемам был достигнут Зоммерфельдом в его интерпретации тонкой структуры спектральных линий водорода, проявляющейся при наблюдении этих линий с помощью приборов с высокой разрешающей способностью. Этот эффект объясняется тем, что движение электрона в атоме водорода уже не является строго периодическим, если учесть изменение массы электрона в зависимости от скорости. Вслед за этой работой вскоре появились работы по интерпретации деталей эффекта Штарка в спектральных линиях водорода, выполненные одновременно Эпштейном 1 и Шварцшильдом 2, и по интерпретации эффекта Зеемана для линий водорода, проделанные Зоммерфельдом 3 и Дебаем 4. Теории этих эффектов были завершены применением принципа соответствия, который позволил детально объяснить ограниченность числа наблюдаемых компонент, а также их поляризацию и интенсивности.
