Формальной основой применения квантовой теории к атомным проблемам служит ряд формул, которые вместе с формулой (4), часто называемой «условием частот», позволяют нам отобрать стационарные состояния среди всех механически возможных движений частиц атома. Эти формулы, так называемые правила квантования 1, могут рассматриваться как рациональные обобщения предположения, первоначально использованного Планком, о возможных значениях энергии системы, состоящей из частиц, совершающих простые гармонические колебания. Хотя, естественно, определение энергии стационарных состояний является весьма важной задачей теории, сама по себе энергия не удобна для общей формулировки «правил квантования» в случае более сложных систем. С этой целью удобнее использовать так называемый интеграл действия, который играет столь важную роль в аналитической динамике.
1 Н. Бор использует для них термин «state-relations», что в дословном переводе означало бы «соотношения состояния». - Прим. перев.
Рассмотрим сначала простой случай, когда движение частиц атома периодическое и не зависит от начальных условий. В этом случае смещение каждой частицы в данном направлении, как функция времени, может быть выражено известным способом в виде суперпозиции ряда гармонических колебаний
ξ=
∑
𝐶
τ
cos 2π(τω𝑡+γ
τ
)
,
(11)
где ω — частота периодического движения, а суммирование ведётся по всем положительным целым значениям τ. Конечно, подобное выражение может быть записано и для компоненты электрического момента атома в этом направлении. В классической теории изменение этого момента во времени определяет характер испущенного излучения. Для столь простой системы, совершающей периодическое движение, её стационарные состояния задаются одним условием, которое можно записать в виде
𝐼 = 𝑛ℎ,
(12)
где ℎ — постоянная Планка, а 𝑛 — положительное целое число, так называемое квантовое число. Величина 𝐼 определяется как
𝐼=
∫
𝐴𝑑𝑡
,
(13)
где интеграл, называемый интегралом действия, берётся по полному периоду движения. Если предположить, что движение подчиняется законам классической механики, то подынтегральная функция 𝐴 равна удвоенной кинетической энергии движущихся частиц (𝐴 = ∑𝑚𝑣²), тогда как при учёте модификаций, вводимых теорией относительности, 𝐴 задаётся выражением вида
𝐴=
∑
𝑚𝑣²
⎧
⎪
⎩
1-
𝑣²
𝑐²
⎫-½
⎪
⎭
.
С учётом последующих обсуждений следует заметить, что это определение 𝐼 тождественно условию
𝐼ω =
𝐴
,
(14)
где 𝐴 означает среднее значение функции 𝐴 за время движения. В то время как связь между 𝐼 и полной энергией 𝐸 для разных систем может принимать весьма разные формы, она всегда будет подчиняться простому дифференциальному соотношению
δ𝐸 = ω⋅δ𝐼
,
(15)
где δ𝐸 и δ𝐼 означают разности значений 𝐸 и 𝐼 для двух механически возможных движений системы, которые весьма мало отличаются друг от друга.
Из соотношений (4) и (15) немедленно видно, что в случае простого гармонического осциллятора с постоянной частотой ω0, движение которого описывается формулой (1), равенство (12) эквивалентно известному соотношению Планка
𝐸 = 𝑛ℎω
0
.
(16)
Можно также легко показать, что в случае атома водорода равенство (12) эквивалентно формуле (8), если в последней подставить значение 𝐾, заданное формулой (10). Действительно, замечая, что 𝑊 = ∞ при 𝐼 = 0, получаем из (7) и (15) после интегрирования
𝑊=
2π2𝑒2𝑚
𝐼2
(17)
Общие соотношения (12) и (15) позволяют нам далее проследить на более широкой основе формальную асимптотическую связь между движением атомной системы и спектром, получаемым в квантовой теории, рассмотренной в предыдущем разделе для специального случая атома водорода.
Рассмотрим переход между двумя состояниями, для которых значения 𝑛 в соотношении (12) равны 𝑛' и 𝑛'' соответственно. Из условия частот (4) мы получаем с помощью (15)
ν=
1
ℎ
(𝐸'-𝐸'')
=
1
ℎ
𝑛=𝑛'
∫
𝑛=𝑛''
ωδ𝐼
.
(18)
Если теперь числа 𝑛' и 𝑛'' велики по сравнению с их разностью, а следовательно, движения в этих двух состояниях отличаются сравнительно мало друг от друга по частоте и размерам орбит, то мы можем рассматривать со в формуле (18) как приблизительно постоянную величину и, таким образом, также используя (12), получить асимптотическое соотношение
ν∼(𝑛'-𝑛'')ω
.
(19)
В этом пределе больших квантовых чисел частота испущенного во время перехода излучения будет, следовательно, совпадать асимптотически с частотой одной из гармонических компонент излучения, которое, согласно классической теории, испускалось бы атомом вследствие изменения во времени его электрического момента, а именно с частотой волн, соответствующих гармонической компоненте в разложении (11), у которой τ = 𝑛'-𝑛'' Теперь, конечно, уже не возникает никакого вопроса о постепенном приближении квантовой теории в пределе больших квантовых чисел к классическим идеям о происхождении излучения. Действительно, так же, как и в случае, когда эти числа не велики по сравнению с их разностью, мы предположим в этом пределе, что разные гармонические компоненты излучения, которые испускались бы одновременно в классической теории, будут возникать в совершенно различных процессах перехода между разными парами стационарных состояний. Именно это обстоятельство заставляет нас рассматривать совпадение частот, замеченное в этом пределе, как доказательство общего закона, управляющего появлением переходов между стационарными состояниями.
Этот закон, который был назван «принципом соответствия», устанавливает, что появление каждого перехода между двумя стационарными состояниями, сопровождающегося испусканием излучения, скоррелировано с одной из гармонических компонент, на которые может быть разложен электрический момент атома, рассматриваемый как функция времени, в том отношении, что появление перехода обусловлено наличием «соответствующего» гармонического колебания. Эта корреляция требует, чтобы вероятность появления перехода зависела от амплитуды соответствующего гармонического колебания атома таким образом, чтобы в предельном случае больших квантовых чисел интенсивность испускаемого излучения в единицу времени в среднем была такой же, как и получающаяся из законов классической электродинамики. Подобная связь с классической теорией будет существовать и для поляризации испущенного излучения. Если, например, соответствующее гармоническое колебание во всех состояниях атома описывается линейным колебанием или же вращением по кругу, то излучение будет иметь тот же состав, что и излучение, которое испускалось бы, согласно классической теории, электроном, совершающим гармоническое колебание того же самого типа.
