§ 9. Эти два действия, в свою очередь, могут сочетаться двояким путём: посредством соединения и посредством разделения. Первое даёт умножение, второе – деление. Умножение соответствует числу; оно представляет счёт, но не единиц, а чисел: данное число берётся известное число раз, что и даёт известное сочетание единства и множества. Деление же есть показание счёта частей в целом числе, им определяется числовое отношение единства и множества.

§ 10. Но и сама единица как количество заключает в себе множество, следовательно, делима внутри себя. Отсюда дробь, которая, в противоположность целому числу, представляющему сочетание единицы и счета, представляет их отношение. Если число соответствует умножению, то дробь соответствует делению.

§ 11. Так как делимость количества идёт в бесконечность, то и счёт частей идёт в бесконечность: знаменатель дроби может увеличиваться по произволу. А с другой стороны, само целое, которое делится на части, не ограничивается единицей, а может представлять сочетание единиц, или число; следовательно, и оно идёт в бесконечность: числитель, как и знаменатель, увеличивается по произволу. Таким образом, и число дробей бесконечно.

§ 12. Будучи составлена из чисел, дробь представляет отношение чисел. Это отношение есть отношение целого к частям и само выражается числом, представляющим счёт частей. Это число есть показатель отношения.

§ 13. Но и отношение целого к счёту частей выражается дробью; тогда показатель выражает величину каждой части. Следовательно, показатель есть числовой выразитель отношения, элементы которого могут иметь разное значение.

§ 14. Как показатель отношения, он не зависит и от величины целого и частей; последняя может изменяться при сохранении тождества отношения. На этом основан закон пропорциональности.

Например, 2=4/2=6/3=8/4 и т. д.

§ 15. Отношения могут быть неравны. Но между неравными отношениями устанавливаются опять отношения, которые следуют тому же закону, то есть полагается тождество, не зависимое не только от изменения чисел, но и от изменения относящихся друг к другу отношений.

§ 16. Так как отношений может быть бесконечное множество, то и этот процесс идёт в бесконечность. Результат его состоит в положении тождественного с собой определения при бесконечно изменяющихся количественных сочетаниях.

§ 17. Этим самым полагается то основное отношение, которое лежит в существе количества. Количество есть соединение и разделение тождественного; но для лежащего в основании тождества количественное соединение и разделение суть чисто внешние. Это – два независимых друг от друга элемента. Эта независимость числительно выражается в том, что сохраняется тождество отношения при постоянно изменяющихся величинах.

§ 18. Но если эти элементы друг от друга независимы, то каждый из них имеет своё логическое существо и свои категории. Соединённые внешним образом в количестве, они, в силу логического анализа, распадаются на две противоположные области, из которых одна даёт категории бытия, а другая – категории действия. Первые определяют тождественное с собой основание, которое подвергается соединению и разделению, вторые – сам процесс соединения и разделения.

Примеч. Изложенное здесь развитие определений количества есть то самое, которое лежит в основании всей математики. Таким образом, основания метафизики и основания математики одни и те же. Поэтому они имеют значение непреложной истины. Разница между метафизикой и математикой в этом отношении заключается в том, что метафизика выводит умозрительно эти определения, а математика принимает их как совершенно очевидные для разума, и проводит их во всех подробностях, с полнейшей достоверностью, чем самым доказывается истина оснований. Но вследствие того что математика не исследует происхождения этих истин, а берёт их как данные, этот вопрос остаётся для неё открытым. Отсюда возможность неправильного его понимания. При неясности философской мысли, а тем более при ложном взгляде на саму логику даже великие математики не задумываются производить эти основные истины из опыта. При этом прогресс в бесконечность остаётся каким-то таинственным, необъяснимым началом, которое берётся неизвестно откуда. Для философа, исследующего логические основания количественных понятий, в этом отношении не может быть ни малейшего сомнения. Всё предыдущее изложение доказывает, что математические истины не что иное как чисто логические сочетания, или способы действия разума, носящие в себе такие признаки, которые совершенно исключают возможность происхождения их из опыта. Это чисто умозрительные начала, которые служат руководством для всякого опыта и которые одинаково лежат в основании как математики, так и метафизики. Само строение отвлечённой математики выражает изложенное выше развитие метафизических определений количества. Арифметика есть наука чисел, алгебра – наука об отношениях величин; дифференциальное исчисление исследует изменяющуюся границу, интегральное исчисление сводит изменения границы к цельной функции от нуля до бесконечного, или, проходя через нуль, от положительного до отрицательного бесконечного. Арифметика вырабатывается первая, как непосредственное отвлечение от конкретных представлений. Ей навстречу идёт чисто отвлечённое построение алгебры. Сочетание их даёт дифференциальное и интегральное исчисления. Таким образом, из математики можно a posteriori вывести изложенное выше метафизическое построение, которое через это получает непреложное основание. Но если основания математики и метафизики одни и те же, то в дальнейшем процессе они расходятся. Математика исследует дальнейшие приложения этих начал, не выходя из количественной области; для метафизики же количество составляет только первую ступень, которая сама собой, в силу логического анализа, указывает на необходимость дальнейшего движения. От количества она переходит к качеству, которое распадается на бытие и действие. Этот чисто логический переход, вытекающий из умозрительной системы категорий, исторически совершился в древнейшей философии. Пифагор провозгласил число сущностью всех вещей; начало верное, ибо количество есть существенное определение всякого бытия, но недостаточное, ибо им сущность бытия не исчерпывается. Поэтому философская мысль внутренним движением перешла от пифагорейского учения к двум противоположным школам элеатов и Гераклита, из которых первая односторонним образом развивала категории бытия, а вторая представила столь же одностороннее развитие категорий действия. Таким образом, чисто логическое и историческое развитие метафизики совпадают.

§ 1. В основании количества лежит тождественное с собой начало, отрешённое от всякого качественного определения. В логическом процессе категорий количества оказалось, что оно отрешается и от количественных определений. Остаётся чистое тождество с собой, или отношение к себе. Это и есть чистое бытие.

Примеч. В «Логике» (ч. 3, гл. 2, § 19) было уже выведено это понятие. Закон тождества гласит: А есть А. В этой формуле А есть какое-либо определение. Если же всякое определение устраняется, то остаётся чистое есть, которое и выражает чистое бытие.

§ 2. Бытие как таковое исключает из себя небытие или отрицание. Поэтому оно и есть чистое бытие. Только бытие есть, а небытия вовсе нет, ибо оно исключается из бытия.

§ 3. Исключая из себя всякое отрицание, чистое бытие исключает и всякое определение. Поэтому ему нельзя приписать ни одного из противоположных определений, которыми определённое бытие отличается от другого: оно – ни то, ни другое.

Примеч. На двух предыдущих положениях основано было всё учение элеатов.