§ 1. Способ действия в дедукции есть логическое доказательство, то есть указание необходимой связи между основанием и следствием.

§ 2. Доказательство основано на умозаключении и принимает одну из четырёх указанных выше форм (ч. 1, кн. 3, гл. 4, § 2 и след.) 1) Из частных определений, путём чисто логической индукции, выводятся заключающиеся в них общие начала. Так в логике выводятся способности и законы из логических форм. 2) Из категорий, путём анализа, выводятся их содержание и связь; таков способ действия метафизики. 3) Из суждений непосредственно делаются выводы путём перемещений; таковы преобразования уравнений в чистой математике. 4) Путём конструкции из общих начал выводятся частные приложения; таков способ действия конкретной математики.

Примеч. Указание соответствия между различными способами доказательства и различными науками не означает, что эти науки ограничиваются означенными способами; но они в них преобладают и могут служить наилучшими примерами приложений методы.

§ 3. Доказательства основываются на законах разума. Каждый закон даёт своего рода доказательство. На законе тождества основывается доказательство положительное, на законе противоречия – отрицательное. Закон исключения третьего даёт доказательство от противного: если нет А, то есть не А. Это доказательство весьма употребительно в математике. Наконец, закон сочетания противоположностей отрицает одностороннее положение и полагает необходимую связь. Это – доказательство, свойственное метафизике.

§ 4. Противоположные способы доказательства проверяются друг другом. Разделением проверяется соединение и обратно. Несостоятельностью односторонних положений подтверждается необходимость связи.

§ 5. Доказательство есть выражение логической необходимости, а потому имеет для разума безусловную силу. Проверка положительной необходимости отрицательной устраняет возможность ошибки.

§ 1. Вывод есть результат доказательства. Это – утверждение действительности, вытекающей из логической необходимости.

§ 2. Логическая необходимость есть закон разума в познании вещей; поэтому она распространяется на всё познаваемое в пределах связуемых понятий.

Примеч. Этими свойствами логический вывод отличается от индуктивного. Последний, как сказано, в точном смысле не простирается далее тех частных и условных фактов, из которых он извлечён; а потому он не содержит в себе ничего безусловно общего. Раскрываемая им связь чисто фактическая, а не логическая; поэтому он не заключает в себе ничего необходимого. Когда индуктивные выводы выдаются за безусловно общие и необходимые, то этим выражается сочетание индукции с дедукцией.

§ 3. Полученный вывод есть отношение, выведенное из других отношений. Как удостоверенное отношение, оно может, в свою очередь, служить основанием для новых выводов.

§ 4. Этим путём образуется цепь выводов и доказательств. Продолжение её зависит от возможности вводить новые отношения, то есть от конструкции. Таков способ действия в математике.

§ 5. Сообразно с различными способами выводов, цепь может идти от общего к частному или обратно.

Так, в математике мы имеем вывод от интеграла к дифференциалу, от первого дифференциала ко второму и т. д., и обратно – от дифференциала к интегралу и от низшего интеграла к высшему.

§ 6. Цепь выводов может идти так, что конец совпадает с началом. Это бывает там, где определения составляют цельную, законченную систему. Тогда образуется цикл.

Такова форма выводов в метафизике.

§ 7. Эта форма дедукции высшая из всех, ибо она даёт полноту знания в определённой области. Совпадение конца с началом составляет вместе с тем проверку правильности выводов.

§ 8. Так как в системе всё связано одно с другим, то можно начать с любого определения, и поочередно, в силу логической необходимости, перейти ко всем остальным, пока не завершится круговорот.

§ 9. Но основной закономерный процесс дедукции идёт от общих определений к частным и от частных, в силу закона сочетания противоположностей, снова возвращается к общим. Вследствие этого, при совпадении конца с началом, получается не полное их тождество, а совпадение общего начала, заключающего в себе частное содержание только в возможности, с тем же началом, заключающим в себе то же содержание, но уже в действительности, или в полноте определений. В этом состоит закон логического развития, который служит прототипом всякого понятия о развитии.

§ 10. Так как сочетание противоположностей в логическом цикле составляет основной логический закон, то он должен повторяться в каждой отдельной области. Поэтому общий цикл разлагается на частные циклы, и наоборот, частные циклы слагаются в общий. Где этот закон обнаружен, там достигается полная рациональность знания.

§ 11. При всём том дедукция даёт лишь общие рациональные начала. Приложение этих начал к частным явлениям требует изучения самих явлений, а оно даётся противоположным путём, индуктивным. Поэтому полнота знания требует сочетания обеих метод.

§ 1. Индукция идёт от частного к общему, дедукция от общего к частному. Если они встречаются на полпути, в тождественных выводах, то происходит совпадение. Фактический закон, имеющий ограниченный объём, становится безусловно общим и рациональным.

§ 2. Через это совпадение один путь проверяется другим, и знание получает полную фактическую и логическую достоверность.

§ 3. Отсюда возможность двоякого доказательства одного и того же положения: доказательства умозрительного и опытного, a priori и a posteriori. Первое даёт логическую необходимость, второе – подтверждающие факты.

§ 4. Ни одно не избавляет от другого, но оба восполняют друг друга.

Примеч. Поэтому совершенно неверно утверждение, будто опытное доказательство может когда-либо избавить от логического. Первое всегда имеет ограниченное и чисто фактическое значение. Только последнее даёт общий и рациональный закон. Всего менее подобные рассуждения приложимы к математике. Утверждать, как делает Гельмгольц, что умозрительная геометрия излишня, потому что можно довольствоваться опытной, значит странным образом не понимать логическое значение математических доказательств. Геометрия, чисто логическим путём, без всяких опытных измерений доказывает, что если все стороны треугольника равны, то равны и заключающиеся между ними углы, следовательно, они совпадают, и это доказательство имеет силу для всех возможных треугольников, каковы бы ни были их формы и размеры. Опытным же путём можно измерить сколько угодно треугольников с равными сторонами, и всё-таки не будет доказано, что не может быть треугольников с равными сторонами, которые бы не совпадали. Доказывается только, что в пределах опыта подобного случая не встретилось. Такое странное увлечение великого ума односторонними эмпирическими теориями показывает жалкое состояние современной логики.

§ 5. Непосредственное сочетание метод имеет различное значение в различных областях знания. В этом отношении следует отличить науки, касающиеся физической природы, и науки, исследующие человеческие отношения.

§ 1. Естествознание, имея предметом изучения явления физического мира, идёт чисто индуктивным путём; но, как сказано выше (кн. 1, гл. 1, §§ 2, 3), индукция в самих своих задачах подчиняется логическим требованиям, которые направляют и её действия. Поэтому, обобщая своё содержание, она неизбежно приходит к чисто логическим, или метафизическим началам.

§ 2. Первое такое начало есть понятие о материи, которое не даётся внешними чувствами, а составляет логическое требование, исходящее от метафизического понятия о субстанции, необходимо лежащей в основании внешних явлений. Обобщая признаки, общие всем подлежащим нашим чувствам явлениям, физика приписывает их лежащей в основании материи.