⎛
⎜
⎝ 1 -
φ²
2
⎞
⎟
⎠ .
При этом угол φ определяется как отношение длины дуги 𝑠, пройденной с юга на север, к радиусу 𝑅 земного шара: φ=𝑠/𝑅. Таким образом, уменьшение первоначального расстояния (Δ𝑥)₀ определяется выражением (Δ𝑥)₀ - (Δ𝑥) = (Δ𝑥)₀ ⋅
φ²
2 = (Δ𝑥)₀ ⋅
𝑠²
2𝑅² .
Если сначала это расстояние было равно (Δ𝑥)₀=10 км, длина 𝑠=200 км, а радиус 𝑅=6371 км, то сокращение расстояния должно составить 0,005 км, или 5 м. Эта величина производит впечатление, однако не своим численным значением (что значат 5 м по сравнению с 10 000 м?), а принципиальным фактом существования такого расхождения. Ведь никакого расхождения не было бы, если бы охваченная движением путешественников область 10 км⋅200 км была плоской. Существование этого расхождения — самое непосредственное свидетельство того, что используемая при описании 2-мерной поверхности земного шара геометрия должна быть геометрией искривлённого пространства.
Измерение кривизны по изменению удаления друг от друга двух первоначально параллельных идеальных линий1)
1) Здесь большей частью под «идеальными линиями» и «мировыми линиями» авторы понимают не любые мировые линии, а экстремальные, т.е. геодезические линии. - Прим. перев.
Как же можно адекватно описать и количественно измерить эту кривизну? Как можно прийти к числу, не зависящему от длины пути и расстояния между путешественниками,— к числу, описывающему саму локальную кривизну, а не путешественников? Заметим сначала, что расстояние между 𝐴 и 𝐵 уменьшается в ускоряющемся темпе, так что целесообразно говорить именно об этом ускорении. Как можно оценить его величину? Воспользуемся тем фактом, что относительное ускорение есть скорость изменения относительной скорости, а относительная скорость в свою очередь есть скорость изменения расстояния. Поэтому начнём именно с расстояния (удаления) Δ𝑥 = (Δ𝑥)₀ - (Δ𝑥)₀
𝑠²
2𝑅² .
Пройдём дополнительно ещё небольшой путь, так что вместо 𝑠 получим 𝑠+𝑑𝑠, где величина 𝑑𝑠 весьма мала по сравнению с другими интересующими нас величинами. В результате такого дополнительного сдвига расстояние сокращается до величины (Δ𝑥)нов = (Δ𝑥)₀ - (Δ𝑥)₀
(𝑠+𝑑𝑠)²
2𝑅² .
Имея в виду, что квадратом малой величины 𝑑𝑠 можно пренебречь, получим (Δ𝑥)нов = (Δ𝑥)₀ - (Δ𝑥)₀
(𝑠²+2𝑠 𝑑𝑠)
2𝑅² .
Возьмём разность между новым и старым удалением, разделим её на дополнительный путь 𝑑𝑠 и найдём тем самым скорость изменения удаления — «скорость удаления»:
⎛
⎜
⎝
Изменение
удаления
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
«Скорость
удаления»
⎞
⎟
⎠ = =
⎛
⎜
⎜
⎝
Дополнительный
путь, пройденный
путешественниками
⎞
⎟
⎟
⎠ =
(Δ𝑥)нов-Δ𝑥
𝑑𝑠 =- (Δ𝑥)₀
𝑠
𝑅² . (136)
Скорость удаления равна нулю, когда 𝐴 и 𝐵 начинали свой путь от экватора (𝑠=0), и причина этого была проста — пути 𝐴 и 𝐵 были тогда в точности параллельными. Но чем дальше к северу они продвигались, т.е. чем больше становилась величина 𝑠 в уравнении (136), тем быстрее начинали приближаться друг к другу 𝐴 и 𝐵. Такое «ускорение удаления» измеряется отношением
⎛
⎜
⎝
Скорость
удаления
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
«Ускорение
удаления»
⎞
⎟
⎠ = =
⎛
⎜
⎜
⎝
Расстояние от места,
где скорость удаления
была равна нулю
⎞
⎟
⎟
⎠ -(Δ𝑥)₀ 𝑠 = 𝑅² =- (Δ𝑥)₀ . 𝑠 𝑅² (137)
Если бы наши путешественники начали свой путь при вдвое большем расстоянии друг от друга, чем в этом примере [(Δ𝑥)₀], то «ускорение удаления» возросло бы в два раза согласно уравнению (137). Другими словами, истинная мера кривизны поверхности земного шара определяется не самим «ускорением удаления», но «ускорением удаления на единицу первоначального удаления»:
⎛
⎜
⎝
Мера
кривизны
⎞
⎟
⎠ =
⎛
⎜
⎝
«Ускорение
удаления»
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
Первоначальное
удаление
⎞
⎟
⎠ = =
-(Δ)₀/𝑅²
(Δ)₀ =-
1
𝑅² .
Хотя эта величина и мала, но она доступна измерению — она равна — 1/(6,371⋅10⁶ м)² = 2,5⋅10⁻¹⁴ м⁻². Как это похоже на «приливное воздействие» (стр. 239)! Даже размерность одна и та же! Эта аналогия геометрического понятия «кривизны» и гравитационного понятия «приливного воздействия» и предвосхищает эйнштейновское геометрическое истолкование гравитации.
Приливное относительное ускорение в физике тяготения истолковывается как кривизна пространства-времени (геометрия)
Начав так добросовестно двигаться параллельно друг другу и не отклоняясь ни влево, ни вправо, наши путешественники обнаружили по нарушению постоянства расстояния между ними, что они теперь понемногу сближаются друг с другом. Они приписывают это явление существованию некой таинственной «силы тяжести», искривляющей их пути. Они исследуют природу этой «силы тяжести». Повторяя свое путешествие на велосипедах, мотоциклах, легковых автомобилях, грузовиках, они всякий раз обнаруживают одно и то же сокращение первоначального расстояния между друг другом. Им знакомо уравнение Ньютона (Сила) = (Масса) ⋅ (Ускорение) .
По совпадению относительных ускорений для всех видов транспорта они заключают, что сила, обусловленная «тяготением», должна быть прямо пропорциональна массе экипажа.
Но другие исследователи включаются в обсуждение, заранее предупредив, что они проявят гораздо больше осторожности. Они говорят, что гравитационную силу следует записать как произведение:
⎛
⎜
⎝
Сила
тяжести
⎞
⎟
⎠ =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
Гравитационная
масса объекта
подвергающегося
воздействию
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠ ⋅
⎛
⎜
⎜
⎝
Напряженность
гравитационного
поля
⎞
⎟
⎟
⎠ .
Они подставляют эту силу в ньютоновское уравнение движения, всячески подчеркивая, что фигурирующая там масса — это «инертная масса» подвергающегося воздействию объекта. И они приходят к уравнению
⎛
⎜
⎜
⎝
Инертная масса объекта
подвергающегося
воздействию
⎞
⎟
⎟
⎠ ⋅
⎛
⎜
⎝
Ускорение
⎞
⎟
⎠ = =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
Гравитационная
масса объекта
подвергающегося
воздействию
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠ ⋅
⎛
⎜
⎜
⎝
Напряженность
гравитационного
поля
⎞
⎟
⎟
⎠
или (Ускорение) =
(Гравитационная масса)
(Инертная масса) × ×
⎛
⎜
⎝
Напряжённость гравитационного
поля
⎞
⎟
⎠ .
Эти исследователи говорят: «Посмотрите, вы получили одинаковое ускорение для всякого вида транспорта, с которым работали. Это означает, что отношение гравитационной и инертной масс одинаково для всех объектов. Вы сделали великое открытие, касающееся массы».
Всё это время с высоты на них глядел космический путешественник. Он видел все эти автопробеги, следил за множеством измерений сокращения расстояния и слушал по своей системе дальней связи все солидные дискуссии о «гравитации». Он улыбался. Он ведь знал, что речь-то шла не о «гравитации», а о геометрии искривлённого пространства, и все разговоры о равенстве «гравитационной массы» и «инертной массы» — сплошной туман. Ничего, кроме понятия кривизны, не требуется для описания всё увеличивающейся скорости, с которой приближаются друг к другу 𝐴 и 𝐵.
Если Землю окружить цепочкой пробных частиц, то их ускорение в направлении Земли следует понимать как интегральный эффект относительных ускорений всех соседних частиц по направлению друг к другу
