в) Чему равна длина трубы «3 000 м» (длина ускорителя), если её измерять в системе отсчёта ракеты, движущейся вместе с электронами энергии 40 Бэв, которые даёт ускоритель? ▼
56*. Космические лучи
а) В космических лучах наблюдалась (косвенными методами) по меньшей мере одна частица, энергия которой была оценена в 16 дж (1,0⋅10²⁰ эв) 1). Если носителем этой энергии был протон (𝑚𝑐²≈1 Бэв), то сколько времени потребовалось бы ему, чтобы пересечь нашу Галактику (диаметром 10⁵ световых лет), если измерять время по часам, летящим вместе с этим протоном? Ответ выразите в секундах (1 год ≈ 32⋅10⁶ сек). (В системе отсчёта Земли такой протон, движущийся почти со скоростью света, совершит этот перелёт немногим более чем за 10⁵ лет!)
1) Jonh Linsley, Physical Review Letters, 10, 146 (1963).
б) Во сколько раз энергия частицы должна превышать её энергию покоя, чтобы диаметр нашей Галактики в результате лоренцева сокращения оказался равным диаметру этой частицы (около 1 ферми, что равно 10⁻¹⁵ м)? Какое количество массы потребовалось бы превратить в энергию, чтобы придать требуемую скорость протону? ▼
57. Границы ньютоновской механики
а) Один электронвольт (1 эв) равен тому изменению, которое претерпевает кинетическая энергия частицы, несущей единичный элементарный заряд, когда она проходит через разность потенциалов 1 в. 1 эв =1,60⋅10⁻¹⁹ дж. Чему равны энергии покоя электрона и протона (их массы указаны в конце книги), выраженные в миллионах электронвольт (Мэв)?
б) Кинетическая энергия частицы, движущейся с данной скоростью β, даётся выражением ½ 𝑚β² неточно. Относительная ошибка,
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
Релятивистское
выражение для
кинетической
энергии
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
-
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
Ньютоновское
выражение для
кинетической
энергии
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
,
⎛
⎜
⎝
Ньютоновское выражение
для кинетической энергии
⎞
⎟
⎠
равна 1 % при достижении ньютоновской кинетической энергией величины, составляющей определённую часть энергии покоя. Чему равна эта часть? [Можно ограничиться приблизительным ответом, полученным из анализа следующего члена разложения по формуле бинома (или в степенной ряд) точной формулы для энергии как функции скорости β, либо из других чётко сформулированных рассуждений.] Назовём этот случай (когда ошибка составляет 1 %) совершенно произвольно «границей ньютоновской механики». При какой кинетической энергии достигает этой границы протон (выразите энергию в Мэв)? При какой — электрон? ▼
58*. Релятивистская ракета
Какие ограничения накладывает теория относительности на лётные качества и скорость ракеты? Будем схематически представлять действие двигателя как последовательные выбросы одинаковых шариков, имеющих одну и ту же массу покоя 𝑚. Каждый выброс тогда можно рассматривать как «неупругое столкновение наоборот». Пусть каждый выброс осуществляется на ракете одним и тем же способом. Тогда разумно предположить, что скорость удаления одинакова для любого шарика, если её рассматривать в инерциальной системе отсчёта, в которой ракета покоится (она изображена на рис. 98 в «лабораторной системе отсчёта», связанной с ракетой до выброса). Назовём эту скорость удаления шарика скоростью выброса βвыбр.
Рис. 98. Исследование движения релятивистской ракеты.
а) Используя обозначения рис. 98, запишите уравнения сохранения импульса и сохранения энергии. Не забудьте учесть начальную энергию покоя 𝑀₁ но не считайте, что масса покоя сохраняется — ведь речь идёт о «неупругом столкновении наоборот»! Исключите из этих уравнений 𝑚 и найдите таким образом приращение 𝑑θ,
𝑑θ
=
β
выбр
⎛
⎜
⎝
𝑀₁-𝑀₂
𝑀₂
⎞
⎟
⎠
,
где βвыбр — скорость выброса относительно первоначальной системы ракеты. Так как 𝑀₂-𝑀₁=𝑑𝑀 — изменение массы ракеты, то
𝑑θ
=-
β
выбр
𝑑𝑀
𝑀
,
где 𝑀 — масса ракеты в любой данный момент времени. Если мы рассмотрим теперь новую систему отсчёта («систему ракеты»), в которой ракета покоится, выброс следующей порции массы со скоростью βвыбр в этой системе приведёт к дальнейшему изменению параметра скорости на 𝑑θ. Однако, согласно уравнению (25), новое значение параметра скорости ракеты в первоначальной системе отсчёта равно просто сумме всех изменений параметра скорости (сами скорости не аддитивны, но параметры скорости аддитивны). К тому же массы покоя (и изменения массы покоя) инвариантны, одинаковы во всех системах отсчёта. Поэтому окончательное значение параметра скорости в первоначальной системе отсчёта может быть получено путём суммирования (интегрирования) приращений параметра скорости:
θ
∫
0
𝑑θ
=-
β
выбр
𝑀
∫
𝑀₁
𝑑𝑀
𝑀
.
Интеграл справа равен натуральному логарифму, так что
θ
=
β
выбр
⋅ln
𝑀₁
𝑀
(релятивистская ракета),
(108)
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
Величина параметра
скорости, достигнутая
после сжигания
любой данной
массы горючего
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
Скорость
выброса
продуктов
сгорания
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
⋅ln
⎛
⎜
⎜
⎝
Начальная
масса покоя
ракеты
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎝
Конечная
масса покоя
ракеты
⎞
⎟
⎟
⎠
Это и есть уравнение движения релятивистской ракеты.
б) Нерелятивистской называется такая ракета, которая движется со скоростью, много меньшей скорости света. Покажите, что приведённое выше уравнение движения релятивистской ракеты в нерелятивистском пределе принимает вид обычного уравнения движения нерелятивистской ракеты:
𝑣
=
𝑣
выбр
⋅ln
𝑀₁
𝑀
(нерелятивистская ракета),
(109)
в) Покажите, исходя из основных законов сохранения, что масса покоя в случае релятивистской ракеты не сохраняется. Куда же она девается? Покажите, что масса покоя (приближённо) сохраняется в предельном случае нерелятивистской ракеты.
г) Покажите, что скорость релятивистской ракеты может приближаться сколь угодно близко к скорости света, но не превосходить её.
