𝑥'
=
𝑥 ch θ
𝑟
=
1
2
ch θ
𝑟
м
,
𝑡'
=-
𝑥 sh θ
𝑟
=-
1
2
sh θ
𝑟
м
.
Требуется найти положение правого конца стержня не в отрицательный момент времени 𝑡'=-𝑥 sh θ𝑟, а в момент 𝑡'=0, т.е. на 𝑥 sh θ𝑟=½⋅sh θ𝑟 м светового времени позже. Какое положение по истечении этого срока займёт правый конец стержня? Значения компонент скорости конца метрового стержня можно определить по формуле, полученной в упражнении 20 [формула (49), в которой следует поменять местами штрихованную и нештрихованную скорости и изменить знак параметра скорости на обратный]:
β
𝑦'
=
β𝑦
ch θ𝑟
,
β
𝑥'
=-
th θ
𝑟
.
Тогда в момент 𝑡'=0 правый конец метрового стержня окажется в точке с координатами
𝑦'
=
β
𝑦'
𝑡'
=
β𝑦
ch θ𝑟
1
2
sh θ
𝑟
м
=
1
2
β
𝑦
th θ
𝑟
м
и
𝑥'
=
1
2
ch θ
𝑟
-
th θ
𝑟
ch θ𝑟
2
=
1
2
⎛
⎜
⎝
ch θ
𝑟
-
sh²θ𝑟
ch θ𝑟
⎞
⎟
⎠
=
1
2 ch θ𝑟
.
В тот же момент (𝑡'=0) середина метрового стержня совмещается с началом координат системы отсчёта ракеты. Поэтому угол φ, образованный стержнем и осью 𝑥 системы отсчёта ракеты, определяется выражением
tg φ
=
𝑦'
𝑥'
β
𝑦
sh θ
𝑟
.
▲
53. Парадокс метрового стержня
Соударения не произойдёт. Конечно, в системе отсчёта ракеты стержень не подвергается лоренцеву сокращению, но ведь там движущаяся вверх пластинка наклонена — её правый край приподнят. В сущности можно рассматривать рис. 77 как изображение отверстия в пластинке! Правый край этого отверстия вплотную проскальзывает перед самым «носом» горизонтального метрового стержня, а левый край отверстия — сразу вслед за «хвостом» метрового стержня. Так метровый стержень при всей своей стандартной длине точь-в-точь «помещается» в подвергнувшемся сокращению отверстии, повёрнутом под углом. ▲
54. Тонкий человек на решётке
Вот ключ к решению этого упражнения. На свете не существует таких вещей, как «жёсткий» метровый стержень или «жёсткий» мост. Пусть длинный мост имеет опоры только на своих концах. Быстро уберём из-под него правую опору, и правый конец моста сразу же начнёт падать. Но середина моста ещё не начнёт! Ведь она не «знает» ещё об исчезновении правой опоры. Стоящий посередине моста человек ощущает под своими ногами его металл таким же устойчивым, как прежде. Падение начнётся здесь с определённым опозданием, и время задержки определяется сроком, за который упругое колебание проходит через металл от правого конца моста до места, где стоит человек. Аналогично обстоит дело и с метровым стержнем. Конечно, его жёсткость можно повысить, делая его из улучшенных материалов,— при этом увеличится скорость распространения в нем упругих колебаний, так что сократится время задержки, после которого середина стержня начнёт падать. Но возможности улучшения материала стержня не беспредельны: скорость распространения упругих волн никогда не может превысить скорости света. Время задержки не может стать меньше времени распространения света.
Вера в существование абсолютно жёстких предметов — вредное заблуждение, и отказ от него позволяет разобраться, например, в такой, казалось бы, парадоксальной ситуации. Пусть метровый стержень сначала покоится, лёжа на узкой полке в ракете, а затем полка резко откидывается вниз и стержень начинает падать с ускорением силы тяжести. В системе ракеты стержень падает «синхронно» на всём своём протяжении, но в лабораторной системе это будет не так: там ракета мчится вправо — параллельно ориентации полки — с огромной скоростью. Поэтому в лабораторной системе отсчёта сначала начинает падать правый конец метрового стержня, когда левый его конец всё ещё продолжает лежать на полке. В этой системе наблюдается, что стержень искривлён (и он искривлён там на самом деле), что, конечно, не противоречит релятивистски сформулированному понятию «жёсткости»! Итак, стержень может быть прямым в одной системе отсчёта и искривлённым — в другой.
Нам ясна теперь сущность этого кажущегося парадокса, и мы знаем, что метровый стержень упадёт в отверстие. В лабораторной системе отсчёта этот вывод напрашивался сам собой: метровый стержень там был укорочен до длины, много меньшей метра, и ему ничего не стоило провалиться в отверстие. В системе отсчёта ракеты, напротив, отверстие сократилось до размеров, намного меньших метра, тогда как метровый стержень приобрёл свою полную длину. При этом, однако, мы должны были признать, что метровый стержень не был — и не мог быть в принципе — абсолютно жёстким, его правый конец выгнулся вниз, этот конец погрузился в отверстие, а за ним туда нырнул и весь стержень. ▲
РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ К ГЛ. 2
55. Быстрые электроны
а) Энергия, приобретаемая на 1 м пути, равна
40⋅10³ Мэв
3⋅10³ м
≃
13
Мэв
/
м
.
Если бы выполнялись законы механики Ньютона, то энергия электрона, движущегося со скоростью света, была бы равна
1
2
𝑚𝑐²
=
1
2
(0,511
Мэв
)
≈
1
4
Мэв
(по Ньютону)
,
и эта энергия была бы достигнута на дистанции
1/4 Мэв
13 Мэв/м
=
1
52
м
≈
2
см
!
б) Согласно формуле (107), полученной во введении к этим упражнениям,
1-β
≈
𝑚²
2𝐸²
,
если
β
≈
1
.
Здесь величины 𝑚 и 𝐸 выражены в одних и тех же единицах. Так как нас интересует их отношение, то выбор единиц (если они одинаковы для обеих величин!) не играет роли. Тогда, используя единицы Мэв, получим
1-β
≈
(1/2 Мэв)²
2⋅(4⋅10⁴ Мэв)²
≈
1
128
⋅
10⁻⁸
<
10⁻¹⁰
.
Скорость этих электронов отличается от скорости света менее чем на десятимиллиардную часть последней. При состязании на скорость полёта между такими электронами и световой вспышкой на дистанции 1000 км=10⁹ мм свет опередит электроны всего лишь на
(1-β) 10⁹
мм
<
10⁻¹⁰⋅10⁹
мм
=
0,1
мм
