б) Полезна при анализе столкновений, когда нас не интересует скорость, а внимание сосредоточено на проверке или применении законов сохранения.
в) Скорость определяется по времени полёта, импульс — по искривлению трека частицы в магнитном поле.
г) Для нахождения 𝑝, или β, или 𝐸, когда две из величин известны; 𝑚 не представляет интереса.
Масса покоя непосредственно не представлена в равенстве 𝑝=β𝐸. Мы помещаем это равенство поэтому в центр рис. 91 и размещаем вокруг него прочие ключевые формулы, связывающие энергию, импульс и скорость. Связи между каждой из них обладают своими специфическими областями применения, как это указано в подписи к рисунку.
Мы ничего не говорили в нашем исследовании импульса и энергии о внутренней структуре (если таковая имеется) объекта — носителя этих характеристик. Этот объект может быть ракетой, сложной органической молекулой, элементарной частицей или даже фотоном — элементарным квантом света. Во всех случаях движение такого объекта совершается со скоростью, меньшей скорости света, за исключением, конечно, самого света. Для света, распространяющегося в вакууме, скорость β в точности равна единице. В этом случае формулы
𝑝
=
𝑚β
√1-β²
и
𝐸
=
𝑚
√1-β²
с очевидностью теряют всякий смысл, но зато равенство (90) приобретает исключительную простоту.
𝑝
=
𝐸
⎛
⎜
⎜
⎝
для любого вида энергии,
распространяющегося
со скоростью света
⎞
⎟
⎟
⎠
(91)
Кроме того, из соотношения 𝑚²=𝐸²-𝑝² мы видим, что в этом случае масса покоя равна нулю. Следовательно, любой объект, переносящий энергию по прямолинейному пути со скоростью света, характеризуется нулевой массой покоя. В настоящее время известны лишь три механизма переноса энергии со скоростью света — электромагнитное излучение, гравитационное излучение и нейтрино, причём экспериментально из них наблюдались пока лишь первый и последний 1).
1) По поводу обнаружения нейтрино см. С.L. Соwan, F. Rеinеs, F.В. Наrrisоn, Н.W. Кrusе, A.D. Мс Guirе, Science, 124, 103 (1956).
Относительно реализуемых в настоящее время попыток обнаружить гравитационное излучение, приходящее от космических источников, см. J. Webеr, Gravitational Waves, in Gravitation and Relativity, ed. H.-Y. Chiu and W.F. Hoffman, New York, 1964. [Имеется русский перевод: сб. «Гравитация и относительность», изд-во «Мир», М., 1965, стр. 179.— Прим. перев.]
Любой сгусток энергии, движущийся со скоростью света, имеет нулевую массу покоя
Равенство 𝑝=𝐸 выполняется со стопроцентной точностью лишь для излучения с нулевой массой покоя, но оно является сколь угодно точным приближением для любой частицы, если её энергия достаточно велика по сравнению с массой покоя частицы. Поэтому в таком ультрарелятивистском пределе частица с массой покоя 𝑚 ведёт себя практически так же, как фотон, с точки зрения законов сохранения энергии и импульса
13. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ЭНЕРГИИ И МАССЫ ПОКОЯ
Масса покоя конечного состояния системы при неупругом соударении больше, чем масса покоя начального состояния
Полный импульс всех частиц системы сохраняется при столкновении; сохраняется и их полная энергия (сумма энергий покоя и кинетических энергий). Этим принципом мы руководствовались, изучая столкновения частиц. Но будет ли верным придерживаться этого принципа, перейдя от упругих столкновений к неупругим? Пусть пластилиновый шарик с большой скоростью налетает на другой пластилиновый шарик, покоящийся на поверхности катка. При столкновении они слипаются и вместе скользят по льду. Мы с готовностью примем, что к такому столкновению применим закон сохранения импульса, но есть ли основания думать, что здесь имеет смысл применять и закон сохранения энергии? При таком столкновении часть энергии превратится в теплоту, а другая часть первоначальной энергии превратится во вращательную энергию крутящейся вокруг своего центра масс гантели, образованной слипшимися шариками. Как описать адекватно этот более сложный случай, если при характеристике системы мы ограничимся лишь двумя величинами, 𝐸 и 𝑝, связанными между собой элементарной формулой 𝐸²-𝑝²=𝑚²?
Ответ: следует признать, что масса покоя конечного состояния системы превышает сумму масс покоя объектов до столкновения. Это — новое утверждение физики пространства-времени, которого не знала и о котором вообще не могла догадываться ньютоновская механика. Возрастание массы покоя измеряет как раз ту энергию, которая перешла в теплоту и в энергию вращения, а также в прочие формы внутреннего возбуждения конечного состояния системы. Если не учитывать того изменения массы покоя, которое происходит при многих столкновениях, мы столкнёмся с кажущимися нарушениями закона сохранения энергии, либо закона сохранения импульса, либо обоих этих законов.
Как производить учёт этого изменения массы покоя? В примере с двумя пластилиновыми шарами следует применить:
1) закон сохранения энергии
𝐸конечная = 𝐸начальная = 𝐸₁ + 𝑚₂ ;
2) закон сохранения импульса
𝑝конечный = 𝑝начальный = 𝑝₁ + 𝑝₂ = 𝑝₁
и 3) соотношение
(𝑚конечная)² = (𝐸конечная)² - (𝑝конечный)² .
Мы получим тогда
(
𝑚
конечная
)
²
=
(
𝐸₁
+
𝑚₂
)
²
-
𝑝₁²
=
=
𝐸₁²
+
2𝐸₁𝑚₂
+
𝑚₂²
-
𝑝₁²
=
=(
𝐸₁²
-
𝑝₁²
)+
2𝐸₁𝑚₂
+
𝑚₂²
=
=
𝑚₁²
+2(
𝑚₁
+
𝑇₁
)
𝑚₂
+
𝑚₂²
=
=
(𝑚₁+𝑚₂)²
+
2𝑇₁𝑚₂
.
(92)
Законы сохранения справедливы во всех случаях столкновений — упругих, неупругих и сверхупругих
Очевидно, что масса покоя объединившихся шаров больше, чем сумма масс покоя первоначальных объектов 1 и 2. Кроме того, эта добавочная масса покоя тем больше, чем больше кинетическая энергия соударения 𝑇. Из этого примера мы заключаем, что законы сохранения энергии и импульса в равной мере справедливы (и равно полезны) как при упругих, так и при неупругих столкновениях.
Как же реализуется это неожиданное «бесплатное приложение» к законам сохранения? Что оно говорит нам об эквивалентности энергии и массы покоя? Эти вопросы требуют более детального обсуждения.
«Энергия сохраняется в каждой системе отсчета, если импульс сохраняется как в лабораторной системе отсчета, так и в системе ракеты». При доказательстве этой теоремы на основании уравнений (79) и (80) не имело значения, один ли объект получался в результате столкновения, или разлетались тысячи осколков, или между двумя частицами происходило упругое соударение. Физика знает множество реакций, при которых изменяется число частиц. Одной из самых драматических является рождение пары электронов, один из которых имеет отрицательный, а другой — положительный заряд (электрон и позитрон), когда в пустом пространстве сталкиваются два носителя энергии, например при столкновении двух электронов:
𝑒⁻
(быстрый)
+
𝑒⁺
(покоящийся)
=
𝑒⁻
