величины

⎞

⎟

⎟

⎠ = 𝑝_𝑡 𝑝^𝑡 + 𝑝_𝑥 𝑝^𝑥 + 𝑝_𝑦 𝑝^𝑦 + 𝑝_𝑧 𝑝^𝑧 = =

𝑚²[(𝑑𝑡)²-(𝑑𝑥)²-(𝑑𝑦)²-(𝑑𝑧)²]

𝑑τ² = 𝑚² .

В геометрии Эвклида, где векторы обладают лишь пространственными компонентами, такое различие между верхними и нижними индексами несущественно, и там часто используются лишь нижние индексы, причем в эвклидовой геометрии знак пространственных контравариантных и ковариантных компонент берется один и тот же. Однако в геометрии пространства-времени, где существует разница в знаке пространственных компонент, взятых с верхними или с нижними индексами, необходимо явно учитывать контравариантность и ковариантность компонент. Кроме того, обычно удобнее работать с контравариантными компонентами 4-векторов (верхние индексы!), так как именно эти компоненты часто бывают непосредственно связаны с координатами мировых точек, дифференциалы радиусов-векторов которых являются контравариантными по определению в произвольных системах координат (не только в декартовых).

[В оригинале книги это примечание имело несколько иной вид, а именно авторы приняли, что при переходе от контравариантных к ковариантным компонентам изменяют знак не пространственные, а временная компонента 4-векторов, что позволяет проще увязать изложение с эвклидовой геометрией для 3-мерных векторов. Однако в современной литературе, особенно по общей теории относительности, преобладает противоположный выбор сигнатуры, так что многие авторы перешли к принятой нами здесь записи компонент векторов и в частной теории относительности, например Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц в последнем издании (1967 г.) «Теории поля». Для того чтобы стандартизировать изложение, переводчику пришлось несколько изменить данное примечание, сохранив общий стиль авторов. Следует отметить, что здесь, как и в других частях книги, они предполагают, что используются лишь декартовы системы координат; если бы мы не ограничивались здесь декартовыми координатами (перейдя, например, к сферическим координатам), нам пришлось бы явно проводить различие между ковариантными и контравариантными компонентами векторов уже в 3-мерном эвклидовом пространстве. Тогда радиус-вектор не был бы истинным вектором: свойствами вектора обладали бы лишь его бесконечно малые приращения.— Прим. перев.]

В обеих формулах слагаемые, стоящие справа, зависят от состояния движения частицы или той системы отсчёта, в которой производится наблюдение. Иными словами, отдельные компоненты 4-вектора энергии-импульса (энергия частицы 𝐸 и её импульс 𝑝) обладают разными значениями в лабораторной системе отсчёта и в системе отсчёта ракеты. Левые части каждого из этих соотношений (масса покоя 𝑚 и интервал τ), напротив, одинаковы во всех системах отсчёта.

Явное выражение для энергии через импульс можно получить из формулы (86), разрешая её относительно 𝐸:

𝐸

=

√

𝑚²+𝑝²

.

(87)

Это выражение справедливо в равной мере как при больших, так и при малых импульсах, причём его можно упростить для обоих предельных случаев.

Выражение энергии через импульс: ньютоновский и ультрарелятивистский предельные случаи

Когда импульс 𝑝 мал по сравнению с 𝑚 (т.е. когда скорость β весьма мала по сравнению с единицей —«нерелятивистский предел»), выражение (87) можно разложить, пользуясь формулой для бинома или каким-либо иным способом, и получить

𝐸=𝑚

⎡

⎢

⎣

1+

⎛

⎜

⎝

𝑝

𝑚

⎞²

⎟

⎠

⎤½

⎥

⎦

=𝑚+

𝑝²

2𝑚

+

𝑝⁴

8𝑚³

+…

(малые

𝑝

).

При достаточно малых значениях импульса 𝑝 этот ряд можно с любой степенью точности приравнять его первым двум членам

𝐸≈𝑚

𝑝²

2𝑚

(малые

𝑝

).

(88)

Первое слагаемое имеет здесь смысл энергии покоя, а второе представляет собой ньютоновское выражение для кинетической энергии частицы с импульсом 𝑝.

Если же импульс 𝑝 очень велик по сравнению с 𝑚 («ультрарелятивистский предел»), то точное выражение (87) снова может быть разложено в степенной ряд, на этот раз в виде

𝐸=𝑝

⎡

⎢

⎣

1+

⎛

⎜

⎝

𝑚

𝑝

⎞²

⎟

⎠

⎤½

⎥

⎦

=𝑝+

𝑚²

2𝑝

+

𝑚⁴

8𝑝³

+…

(большие

𝑝

).

Если импульс достаточно велик, этот ряд можно с любой желаемой степенью точности приравнять его первому слагаемому:

𝐸≈𝑝

(ультрарелятивистский предел).

(89)

В этом предельном случае масса покоя не играет роли во взаимной связи импульса и энергии.

Правдоподобно ли, что катеты 𝐸 и 𝑝 треугольника на рис. 90 могут неограниченно возрастать, в то время как гипотенуза 𝑚 остаётся постоянной и оказывается меньше любого из катетов? Возможно ли, чтобы в прямоугольном треугольнике гипотенуза сохраняла постоянную длину, в то время как катеты неограниченно удлинялись? Такое поведение длин гипотенузы и катетов в корне противоречит законам эвклидовой геометрии. Однако рассматриваемая нами геометрия не является эвклидовой, а в лоренцевой геометрии пространства-времени квадрат гипотенузы равен разности квадратов катетов. Поэтому сочетание не изменяющейся в длине гипотенузы с неограниченно растущими и в пределе равными друг другу катетами, 𝐸 и 𝑝, отнюдь не парадоксально.

Импульс как мера скорости переноса массы-энергии

Можно и иначе убедиться в том, что энергия должна приближаться по величине к импульсу, когда каждая из этих величин становится много больше, чем масса покоя. В самом общем случае, без каких бы то ни было приближений, из формул

𝑝

=

𝑚β

√1-β²

и

𝐸

=

𝑚

√1-β²

следует результат

𝑝

=

β𝐸

 (для всех скоростей).

(90)

Из этого равенства следует, что импульс 𝑝 неограниченно приближается по своей величине к энергии 𝐸, когда скорость становится сколь угодно близкой к скорости света.

Существует очень наглядная интерпретация равенства (90). Здесь 𝐸 описывает массу-энергию частицы, а β — скорость, с которой движется эта масса-энергия. Поэтому их произведение, импульс 𝑝, является мерой скорости переноса массы-энергии. Любопытно, что множитель, описывающий в этой формуле массу-энергию [величина 𝐸 в равенстве (90)], не равен той массе 𝑚, появления которой можно было бы ожидать из теории Ньютона. За перенос массы-энергии ответственна не одна лишь масса покоя, но сумма массы покоя с массовым эквивалентом кинетической энергии, иными словами, полная масса-энергия 𝐸.

Рис. 91. Решать, какая из релятивистских формул удобна для анализа экспериментальных данных, следует исходя из величин, измеряемых на опыте:

а) Скорость определяется по времени полёта, энергия — из закона сохранения, применённого к предыдущим или последующим столкновениям.