𝐸
обычн
=
ℎν
(энергия в обычных единицах).
(115)
1) Более привычны единицы — грамм, сантиметр и секунда, в которых 𝑐=3⋅10¹⁰ см/сек, ℎ=6,63⋅10⁻²⁷ эрг⋅сек, а 𝑔=980 см/сек². — Прим. перев.
г) Покажите, что формула, описывающая эффект Комптона (упражнение 70), принимает при этом вид
ν
=
ν
.
1
+
ℎν
(1-cos φ)
𝑚𝑐²
(116)
Идея о том, что рассеянная (переизлучённая) волна обладает пониженной частотой, когда электрон получает электрический удар от поля волны фотона, встречала сильное сопротивление в 20-х годах нашего века. ▼
73*. Гравитационное красное смещение
Следующие две задачи предполагают некоторое знакомство с определёнными элементарными фактами теории тяготения:
I. Очень малый объект (либо сферически симметричный объект произвольного радиуса) с массой 𝑚₁ притягивает объект с массой 𝑚₂ (также малый либо сферически симметричный) с силой 𝐹=𝐺𝑚₁𝑚₂/𝑟². Здесь 𝑟 — расстояние между центрами этих объектов, а 𝐺 - ньютоновская гравитационная постоянная:
𝐺
=
6,67⋅10⁻¹¹
м
³
/
сек
²⋅
кг
=
6,67⋅10⁻⁸
см
³
/
сек
²⋅
г
.
II. Работа, необходимая для перенесения пробной частицы единичной массы из точки 𝑟 в точку 𝑟+𝑑𝑟 против сил гравитационного притяжения, вызываемых наличием закреплённой массы 𝑚, равна
𝐺𝑚
=
𝑑𝑟
𝑟²
.
Переходя от обычных единиц энергии к единицам размерности массы, запишем эту работу как
𝑑𝑊
=
𝐺𝑚
𝑐²
⋅
𝑑𝑟
𝑟²
=
𝑚*
⋅
𝑑𝑟
𝑟²
(117)
(работа, отнесённая к единице массы пробной частицы).
III. В этой формуле первый сомножитель, 𝑚*=𝐺𝑚/𝑐², имеет очевидный смысл — это масса притягивающего центра, выраженная не в килограммах, а в метрах. Например, масса Земли (𝑚=5,983⋅10²⁴ кг) равна в единицах длины 𝑚Земля*=4,44⋅10⁻³ м тогда как масса Солнца (𝑚=1,987⋅10³⁰ кг) равна 𝑚Солнце*=1,47⋅10³ м.
IV. Пусть пробная частица находится сначала на расстоянии 𝑟 от притягивающего центра, а затем уносится на бесконечность. Необходимая для этого работа равна
𝑊
=
𝑚*
𝑟
(118)
из расчёта на единицу массы, содержащейся в пробной частице.
а) Какая часть вашей энергии покоя перейдёт в потенциальную энергию, если вы подниметесь на высоту памятника Вашингтону (555 фут, или 170 м)? Пусть
𝑔*
=
𝐺𝑚З
𝑐²
⋅
1
𝑟З²
=
𝑚З*
𝑟З²
есть ускорение силы тяжести на поверхности Земли (радиус 𝑟З), выраженное в м/м².
б) Какая часть вашей энергии покоя перейдёт в потенциальную энергию, когда вы подниметесь за пределы действия гравитационного поля Земли? Допустим, что, кроме Земли, во Вселенной ничего нет. Зависит ли доля энергии, теряемой в пункте (а) или (б), от вашей первоначальной массы?
в) Используйте результат, полученный в пункте (а), для нахождения относительного изменения энергии фотона, поднимающегося вертикально на высоту 𝑧 в однородном гравитационном поле 𝑔*. Масса покоя фотона равна нулю, и формально можно сказать, что фотон обладает кинетической энергией 𝐸=𝑇. Поэтому фотон располагает лишь одним источником, а именно своей кинетической энергией, за счёт которого он может компенсировать возрастание потенциальной энергии при подъёме в гравитационном поле. Световая волна с частотой ν состоит из фотонов энергии 𝐸=ℎν/𝑐² (см. упражнение 72). Требуется показать, что относительная потеря энергии фотонами, поднимающимися в гравитационном поле, соответствует следующему относительному изменению их частоты:
Δν
ν
=-
𝑔*𝑧
(однородное гравитационное поле).
г) Вывод, полученный в пункте (б), используйте для нахождения величины относительной потери энергии фотоном при его удалении на бесконечность. (Применение этого вывода является хорошим приближением с точностью до 1%, если сама величина относительной потери энергии не превышает 2%). Пусть, например, фотон испускается из какой-то точки на поверхности астрономического объекта массы 𝑀 (кг) или 𝑀* (м) и радиуса 𝑟. Исходя из величины относительной потери энергии, покажите, что относительное изменение частоты определяется формулой
Δν
ν
=-
𝑀*
𝑟
.
(119)
Такое уменьшение частоты называется гравитационным красным смещением, потому что в видимом свете смещение состоит в сдвиге линий к низкочастотному (красному) концу спектра. Найдите величину относительного гравитационного красного смещения для света, испускаемого с поверхности Земли, и для света, испускаемого с поверхности Солнца. ▼
74*. Плотность спутника Сириуса
Сириус (Альфа созвездия Большого Пса) — самая яркая звезда неба. Сириус и его маленький спутник обращаются один вокруг другого. Анализируя это обращение с помощью ньютоновской механики, астрономы смогли определить, что масса спутника Сириуса приблизительно равна массе нашего Солнца (𝑚≈2⋅10³⁰ кг, 𝑚*≈1,5⋅10³ м).
Излучение спутника Сириуса было исследовано спектроскопически. Отождествлённые по своему взаимному расположению спектральные линии некоторого химического элемента оказались сдвинутыми по своей частоте на 7⋅10⁻⁴ от величины частоты тех же спектральных линий того же элемента в лаборатории. (Эти опытные данные верны с точностью до первой значащей цифры). Интерпретируя это красное смещение как гравитационное (см. формулу в конце упражнения 73), найдите среднюю плотность спутника Сириуса в граммах на кубический сантиметр. Этот тип звёзд носит название белых карликов. ▼
Г. ДОППЛЕРОВСКОЕ СМЕЩЕНИЕ
75. Формулы Допплера
Пусть фотон движется в лабораторной системе отсчёта в плоскости 𝑥𝑦 в направлении, образующем угол φ с осью 𝑥, так что он обладает компонентами импульса 𝑝 𝑥=𝑝 cos φ, 𝑝 𝑦=𝑝 sin φ и 𝑝 𝑧=0.
а) Используйте формулы преобразования Лоренца для 4-вектора энергии-импульса и соотношение 𝐸²-𝑝²=0, справедливое для фотона, чтобы показать, что в системе отсчёта ракеты фотон обладает энергией 𝐸',
𝐸'
=
𝐸 ch θ
𝑟
⋅
(1-β
𝑟
cos φ)
,
(120)
и движется в направлении, образующем с осью 𝑥' угол φ', причём
cos φ'
=
cos φ-β𝑟
1-β𝑟 cos φ
.
