68*. Устойчивость фотона

Покажите, что изолированный фотон не может раздробиться на два фотона, распространяющихся в направлениях, не совпадающих с направлением распространения первоначального фотона. (Указание. Используйте законы сохранения импульса и энергии и тот факт, что третья сторона треугольника короче, чем сумма двух других сторон. О каком треугольнике идёт речь?) ▼

69*. Давление света

а) Вычислите полную силу, с которой действует луч одноваттного фонарика.

б) Основываясь на значении солнечной постоянной (1,4 квт/м²; см. упражнение 62), вычислите величину давления солнечного света на спутник Земли. Рассмотрите как отражающие, так и поглощающие поверхности, а также «реальные» поверхности (с частичным поглощением). Почему несуществен цвет падающего света?

в) Частицы, размеры которых меньше некоторых критических, могут быть вытолкнуты из солнечной системы давлением солнечного света. Критические размеры определяются равенством выталкивающей силы и силы гравитационного притяжения частиц Солнцем. Оцените эти размеры, сделав все необходимые предположения. Перечислите в своём ответе сделанные предположения. Зависят ли полученные критические размеры от расстояния частиц от Солнца? ▼

70*. Эффект Комптона

Рис. 108. Комптоновское рассеяние фотона на электроне.

Рис. 109. Диаграмма сохранения импульса при комптоновском рассеянии. Вспомните закон косинусов: 𝑃² = 𝑝² + 𝑝² - 2𝑝𝑝 cos φ .

В 1923 г. Артур Комптон показал, что рассеянные на свободных электронах рентгеновские лучи (фотоны) имеют после рассеяния меньшую энергию, чем до рассеяния ¹). Этот эксперимент расценивается многими как самое ценное достижение физического опыта 20-х годов. Рассмотрим столкновение фотона с энергией 𝐸_ф и электрона, который первоначально покоился; определим энергию фотона после рассеяния под углом φ к направлению своего падения. Угол φ носит название угла рассеяния. Мы примем следующие обозначения:

¹) A. H. Compton, Physical Review, 22, 411 (1923).

До рассеяния

После рассеяния

Электрон

𝐸, 𝑃

𝐸

,

𝑃

Фотон

𝐸

_ф

,

𝑝

𝐸

_ф

,

𝑝

Не пользуйтесь в своих рассуждениях ни ℎ, ни ν, ни β, ни θ, ни λ, а только одними законами сохранения импульса и энергии да уравнениями

𝐸²

-

𝑃²

=

𝑚²

для электрона,

𝐸

_ф

²

-

𝑝²

=

0

для фотона.

Начертите график выраженной в единицах энергии покоя электрона энергии рассеянного фотона в функции угла рассеяния φ для того случая, когда энергия падающего фотона вдвое превышает энергию покоя электрона (2⋅0,511 Мэв).

Рис. 110. Результаты эксперимента Комптона, в котором фотоны рассеивались на электронах в графитовой мишени.

При расположении детектора на всех углах, кроме φ=0, наблюдаются фотоны, рассеянные с потерей энергии (электроны испытывают отдачу), наряду с теми фотонами, которые почти или вообще не потеряли энергии (отдачу испытывает система электрон + атом как целое)

Собственно, опыты Комптона показали, что некоторые фотоны рассеиваются без заметного изменения энергии (рис. 110). Это были фотоны, рассеивавшиеся на электронах, связь которых в атоме оказалась настолько крепкой, что отдача передавалась атому как целому. Покажите, что для фотонов, рассеивающихся на крепко связанных в атомах средней массы [например, 10⋅2000⋅(масса электрона)] электронах, изменение энергии пренебрежимо мало. ▼

71*. Измерение энергии фотона

Рис. 111. Измерение энергии фотона.

Пусть некий данный радиоактивный источник испускает фотоны высокой энергии (рентгеновские лучи), характерной для соответствующих радиоактивных ядер. Поэтому точные измерения энергии часто могут быть использованы для выяснения состава даже мельчайшего образца. В установке, схема которой дана на рис. 111, регистрируются лишь такие события, когда срабатывание счётчика 𝐴 (попадание в него электрона) сопровождается срабатыванием счётчика 𝐵 (попадание рассеянного фотона). Чему равна энергия падающих фотонов, детектируемых таким способом (в единицах энергии покоя электрона)? ▼

72*. Энергия и частота фотона

В 1900 г. Макс Планк открыл, что свет частоты ν (число колебаний в секунду) с необходимостью следует признать состоящим из квантов (выражение Планка) или фотонов (более позднее выражение Эйнштейна), каждый из которых обладает энергией 𝐸=ℎν/𝑐² (выраженной здесь в единицах массы), где ℎ — универсальный коэффициент пропорциональности, именуемый постоянной Планка. Но как может быть правильной формула Планка, если, как мы теперь знаем, не только 𝐸, но и ν зависит от выбора системы отсчёта, в которой мы наблюдаем свет?

а) Как изменяется энергия фотона при преобразовании Лоренца? Возьмём фотон с энергией 𝐸 (и импульсом 𝑝=𝐸, движущийся в положительном направлении оси х в лабораторной системе отсчёта. Требуется с помощью закона преобразования 4-вектора энергии-импульса найти выражение для энергии 𝐸' этого фотона в системе отсчёта ракеты через одни только величины 𝐸 и θ_𝑟.

б) Определите, как изменяется частота света ν при преобразовании Лоренца. Говоря конкретнее, пусть отрезок синусоиды («серия вспышек») света распространяется в положительном направлении оси 𝑥 так что в течение одного метра светового времени мимо начала лабораторной системы отсчёта проходит ν/𝑐 горбов волны. Имеется в виду, что нулевой или «опорный» горб (или вспышка) проходит мимо начала в нулевой момент времени и что начало системы отсчёта ракеты совпадает с началом лабораторной системы в этот же момент. Требуется показать, что координата 𝑥 горба № 𝑛 связана с моментом наблюдения (в метрах) соотношением

𝑛

=

ν

𝑐

(𝑡-𝑥)

.

На том же основании в системе отсчёта ракеты получается соотношение

𝑛

=

ν'

𝑐

(𝑡'-𝑥')

.

Выразите последнюю формулу через лабораторные координаты, пользуясь преобразованием Лоренца (введя параметр относительной скорости θ_𝑟). Насколько можно, упростите полученное выражение, пользуясь формулой

ch θ

±

sh θ

=

𝑒

^±θ

из табл. 8, где 𝑒 — основание натуральных логарифмов: 𝑒=2,718281… Сравните полученное выражение для 𝑛 с формулой для 𝑛 в лабораторной системе отсчёта и, пользуясь тем, что обе формулы зависят от 𝑥 и 𝑡, найдите простое выражение для ν' через ν и θ_𝑟.

в) Сравните выводы, полученные вами в пунктах (а) и (б). Покажите, что в случае света, распространяющегося в направлении относительного движения двух систем отсчёта, преобразование энергии фотона при переходе между этими системами совпадает с аналогичным преобразованием частоты световой волны. Этот вывод справедлив для произвольного направления распространения света (см. упражнение 75). Итак, если мы связали фотоны со световой волной в одной системе отсчёта, эта связь сохранится во всех других системах. Из теории относительности не следует определённого численного значения постоянной Планка ℎ в формуле, связывающей энергию (в единицах массы) и частоту; 𝐸=(ℎ/𝑐²) ν. Из опыта следует, что постоянная Планка ℎ равна 6,63⋅10⁻³⁴ дж⋅сек ¹). Покажите, что, если энергия измеряется в обычных единицах, связь между энергией и частотой принимает вид