Эти результаты приведены в упражнении 76, а последняя формула была выведена также в упражнении 22 [уравнение (50)].
в) Энергия фотона 𝐸 и соответствующая ей классическая частота электромагнитной волны ν связаны друг с другом равенством 𝐸=ℎ/𝑐²⋅ν (см. упражнение 72). Поэтому уравнение (120) переписывается для частот в виде
ν'
=
ν ch
θ
𝑟
⋅
(1-β
𝑟
cos φ)
.
Зная лишь, какая частота наблюдается в данной системе отсчёта, ещё невозможно сказать, чему равна частота в той системе, где источник излучения покоится. Итак, когда мы измеряем в нашей системе отсчёта частоту, мы никоим образом не получаем прямой информации о скорости источника относительно нашей системы. ▲
76. Распад π⁰-мезона; подробный пример
Решение дано в тексте.
77. Полёт неоновой лампочки
Пока неоновая лампочка находится на большом расстоянии от наблюдателя и быстро к нему приближается, её свет для наблюдателя очень ярок (эффект прожектора; упражнение 22) и далеко сдвинут в синюю сторону (частоты в диапазоне фиолетовых и ультрафиолетовых волн — эффект Допплера; упражнение 75). Затем яркость резко понизится (наблюдатель окажется вне «луча прожектора»), когда косинус угла, образованного лучом зрения и осью 𝑥, станет равен β𝑟. В момент наибольшего сближения лампочки с наблюдателем её свет будет уже испытывать красное смещение (см. формулу (120) при φ=90°, cos φ=0). Когда лампочка будет улетать прочь, её свет будет очень слабым и далеко сдвинут в красную сторону (частоты в диапазоне дальних красных и инфракрасных волн). ▲
78. Физик и светофор
Учитывая в уравнении (120), что энергия 𝐸 пропорциональна частоте ν, а cos φ=-1, получим
ν'
=
ν ch
θ
𝑟
⋅
(1+β
𝑟
)
ν
⎛
⎜
⎝
1+β𝑟
1-β𝑟
⎞½
⎟
⎠
.
Подставляя сюда ν=𝑐/λ, найдём
λ'
λ
=
⎛
⎜
⎝
1-β𝑟
1+β𝑟
⎞½
⎟
⎠
или
β
𝑟
=
1-(λ'/λ)²
1+(λ'/λ)²
.
При λ'/λ=(5300 Å)/(6500 Å)=0,81
(λ'/λ)²
=
0,66
,
так что
β
𝑟
=
0,34/1,66
=
0,20
.
откуда
𝑣
𝑟
=
β
𝑟
𝑐
=
6⋅10⁷
м
/
сек
=
=
216⋅10⁶
км
/
час
=
13⋅10⁷
миль
/
час
,
так что штраф составит приблизительно 130 миллионов долларов. ▲
79. Допплеровское смещение на краю диска Солнца
На экваторе Солнца линейная скорость вращения, направленная по касательной к его поверхности, равна
𝑣
=
2π𝑟
𝑇
=
2π
2π10⁸ м
(24,7 дней)(86 400 сек/день)
=
=
2,1⋅10³
м
/
сек
,
так что
β
=
𝑣
𝑐
=
7⋅10⁻⁶
.
Из формулы (120) для эффекта Допплера, приняв φ=0, а cos φ=1, получим
ν'
=
ν
⎛
⎜
⎝
1-β𝑟
1+β𝑟
⎞½
⎟
⎠
или
λ
=
λ'
⎛
⎜
⎝
1-β𝑟
1+β𝑟
⎞½
⎟
⎠
≈
λ'
⎛
⎜
⎝
1
-
7⋅10⁻⁶
2
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
1
-
7⋅10⁻⁶
2
⎞
⎟
⎠
≈
≈
λ'
(1-7⋅10⁻⁶)
,
так что
Δλ
λ
=-
Δν
ν
≈
7⋅10⁻⁶
.
Сдвиг будет происходить в голубую сторону, когда излучающая точка приближается к Земле, и в красную, когда она удаляется от Земли. Полученная величина относительного допплеровского сдвига частоты сравнима с величиной относительного гравитационного сдвига также в случае Солнца 2⋅10⁻⁶ (см. упражнение 73). ▲
80. Расширяющаяся Вселенная
а) Согласно условиям задачи,
λ'
=
4870 Å
,
λ
=
7300 Å
,
φ
=
φ'
=
π
.
Формулу (120) можно записать в виде
𝐸
𝐸'
=
λ'
λ
=
⎛
⎜
⎝
1-β𝑟
1+β𝑟
⎞½
⎟
⎠
или
β
𝑟
=
1-(λ'/λ)²
1+(λ'/λ)²
.
Так как λ'/λ=0,67, (λ'/λ)²=0,45 то скорость равна
β
𝑟
=
0,55
1,45
=
0,38
.
б) Для того чтобы со скоростью β=0,38 (в единицах скорости света) пройти расстояние 5⋅10⁹ световых лет, требуется (5⋅10⁹)/0,38=13⋅10⁹ лет. Если на более раннем этапе скорость была больше (гравитация произвела в дальнейшем торможение), то это же расстояние могло быть пройдено за более короткий срок. Поэтому, учитывая замедляющее влияние тяготения в прошлом, мы придём к меньшему сроку, прошедшему с момента начала расширения. ▲
81. Анализ парадокса часов с помощью эффекта Допплера
Пусть время путешествия туда и обратно равно 𝑡 в системе отсчёта Павла и 𝑡' — в системе отсчёта Петра. Тогда полное число пульсаций переменной звезды одно и то же в обеих системах отсчёта и равно соответственно ν'𝑡'=ν𝑡. Промежуток времени 𝑡, который покажут часы брата, оставшегося на Земле, равен 𝑡=(ν'/ν)𝑡. Найдём отношение частот по формуле (122), имея в виду, что переменная наблюдается домоседом Павлом под углом 90° к направлению движения Петра (φ=90°, cos φ=0). Отсюда получим
𝑡
=
𝑡'
ch
θ
𝑟
.
В упражнении 27 было указано, что скорость равна β𝑟=24/25, так что
ch
θ
𝑟
=
(1-β
𝑟
