Умножая энергию, выраженную в единицах массы, на квадрат скорости света, получим 𝐸_обычн — энергию, измеренную в обычных единицах (см. разд. 10 гл. 2):

𝐸

_обычн

=

ℎν

.

г) Если это последнее соотношение подставить в формулу, описывающую эффект Комптона (упражнение 70), то получится формула (116). ▲

73. Гравитационное красное смещение

а) Работа, затрачиваемая на единицу массы при переходе от 𝑟 к 𝑟+𝑑𝑟, выражается формулой (117) и представляет собой вклад в потенциальную энергию частицы. Вблизи поверхности Земли 𝑟≈𝑟_Земля, и мы получим

𝑑𝑊

𝑚

=

𝑚*

𝑟_Земля²

𝑑𝑟

=

𝑔*

𝑑𝑟

.

Подставляя 𝑔≈10 м/сек² приближённо найдём

𝑔*

=

𝑔

𝑐²

≈

10 м/сек²

9⋅10¹⁶ м²/сек²

≈

10⁻¹⁶

м

/

м

²

,

так что относительное изменение массы покоя частицы при подъёме на 170 м равно

𝑑𝑊

𝑚

≈

1,7⋅10⁻¹⁴

≈

2⋅10⁻¹⁴

.

б) Отношение же полной работы к массе даётся формулой (118); если взять в ней в качестве 𝑚* массу Земли, равную 4,4⋅10⁻³ м, а за исходный радиус принять радиус Земли 𝑟_Земля мы получим

𝑊

𝑚

=

𝑚*

𝑟_Земля

≈

4,4⋅10⁻³ м

6,7⋅10⁶ м

≈

7⋅10⁻¹⁰

.

Отношения, полученные в частях а) и б) этого упражнения, не включают в правой стороне самую массу поднимающейся частицы.

в) Заменяя в формуле, полученной в части a), 𝑑𝑟 на 𝑧, а 𝑑𝑊/𝑚 — на отношение (изменение энергии)/(полная энергия), получим, учитывая формулу (115), требуемый результат. Знак минус в нем появился ввиду того, что изменение энергии отрицательно (она уменьшается с высотой) ¹.

¹ В отличие от кинетической энергии, потенциальная энергия пробной массы в гравитационном поле с точки зрения теории Ньютона всегда отрицательна и обращается в нуль на бесконечности, где поле отсутствует; таким образом, энергия возрастает с высотой. Авторы в действительности имеют в виду работу, необходимую для удаления массы из гравитационного поля, равную по абсолютной величине потенциальной энергии этой массы, но обратную ей по знаку. Возрастание потенциальной энергии с высотой отражает тот факт, что гравитация создает силы притяжения, а не отталкивания между массами (по принципу минимума энергии).— Прим. перев.

г) Формула (119) непосредственно следует из ответа на часть б) этого упражнения. Для Земли (𝑀*=4,44⋅10⁻³ м, 𝑟_Земля6,7⋅10⁶ м) относительная величина гравитационного красного смещения равна

⎛

⎜

⎝

Δν

ν

⎞

⎟

⎠

Земля

≈

-7⋅10⁻¹⁰

,

т.е. численно совпадает с ответом на часть б). Для Солнца (𝑀*=1,47⋅10³ м, 𝑟_Солнце7⋅10⁸ м) относительная величина гравитационного красного смещения равна

⎛

⎜

⎝

Δν

ν

⎞

⎟

⎠

Солнце

≈

-2⋅10⁻⁶

.

▲

74. Плотность спутника Сириуса

Из формулы (119) следует величина радиуса

𝑟

=

𝑀*

-Δν/ν

=

1,5⋅10³ м

7⋅10⁻⁴

≈

2⋅10⁶

м

(менее одной трети радиуса Земли!). Плотность равна

𝑀

=

2⋅10³⁰

кг

≈

6⋅10¹⁰

кг

/

м

³

=

6⋅10⁷

г

/

см

³

4π

 𝑟²

4⋅8⋅10¹⁸

м

³

3

— в шестьдесят миллионов раз больше плотности воды! ▲

75. Формулы Допплера

а) В системе отсчёта ракеты

𝑝'

^𝑥

=

𝑝' cos φ',

𝑝'

^𝑦

=

𝑝' sin φ'.

Подставляя эти выражения для компонент импульса в формулы преобразования Лоренца (78), найдём

𝐸'

=

-𝑝

cos φ

sh

θ

_𝑟

+

𝐸

ch

θ

_𝑟

,

𝑝'cos φ'

=

𝑝

cos φ

sh

θ

_𝑟

-

𝐸

ch

θ

_𝑟

,

𝑝'sin φ'

=

𝑝

sin φ

.

Но для фотона 𝑝=𝐸, и первое из уравнений записывается в виде

𝐸'

=

𝐸

ch

θ

_𝑟

(1-β

_𝑟

cos φ)

,

как это требовалось показать [уравнение (120)]. Найдём теперь из второго уравнения cos φ' и исключим из него 𝐸 пользуясь (120):

cos φ'

=

𝐸 cos φ ch θ_𝑟-𝐸 sh θ_𝑟

𝐸 ch θ_𝑟(1-β_𝑟 cos φ)

,

cos φ'

=

cos φ-β_𝑟

1-β_𝑟 cos φ

.

б) Будем исходить из формул, обратных (78):

𝐸

=

𝑝'

^𝑥

 sh θ

_𝑟

+

𝐸' ch θ

_𝑟

,

𝑝

^𝑥

=

𝑝'

^𝑥

 ch θ

_𝑟

+

𝐸' sh θ

_𝑟

,

𝑝

^𝑦

=

𝑝'

^𝑦

,

𝑝

^𝑧

=

𝑝'

^𝑧

.

Вновь производя уже знакомые подстановки

𝑝'

^𝑥

=

𝑝' cos φ'

=

𝐸' cos φ'

,

𝑝'

^𝑦

=

𝑝' sin φ'

=

𝐸' sin φ'

и т.д., найдём из приведённой выше формулы преобразования энергии

𝐸

=

𝐸' ch

θ

_𝑟

(1+β

_𝑟

cos φ')

.

Подставляя этот результат в выписанную выше первую формулу для компонент импульса, найдём из неё

cos φ

=

cos φ'+β_𝑟

1+β_𝑟cos φ'

.