𝑟
=
3
4
4⋅10⁻⁶ н/м²
(10³ кг/м³)(6⋅10⁻³ м/сек²)
=
5⋅10⁻⁷
м
.
Итак, частица должна быть довольно маленькой — радиусом примерно 1000 атомов. Интересно, что расстояние от Солнца при вычислениях сокращается. Отметим, что мы сделали здесь следующие предположения:
1) частица шарообразна,
2) частица полностью поглощает падающий на неё свет,
3) плотность частицы равна плотности воды. ▲
70. Эффект Комптона
В подписи к рис. 109 дано уравнение, выражающее закон сохранения импульса. Однако нас больше интересует здесь энергия, почему мы и произведём в нем замены
𝑝
=
𝐸
фотон
,
𝑝
=
𝐸
фотон
,
𝑃
²
=
𝐸
²-𝑚².
В результате получим уравнение
𝐸²
-
𝑚²
=
𝐸
фотон
²
+
𝐸
фотон
²
-
2
𝐸
фотон
𝐸
фотон
cos φ
,
в то время как собственно закон сохранения энергии даёт
𝐸
фотон
+
𝑚
=
𝐸
фотон
+
𝐸
,
если учесть, что электрон первоначально находился в покое, так что его полная энергия сводилась к энергии покоя 𝑚. Теперь нас не интересует энергия 𝐸 электрона после столкновения, и мы исключим её из полученных двух уравнений, получив, наконец, энергию фотона, рассеянного в направлении угла φ:
𝐸
фотон
=
𝐸
фотон
.
1
+
𝐸
фотон
(1-cos φ)
𝑚
Разделив левую и правую стороны этого равенства на массу покоя электрона 𝑚, рассмотрим случай, когда 𝐸фотон/𝑚=2:
𝐸фотон
𝑚
=
2
1+2(1-cos φ)
.
Когда электрон крепко связан в атоме, в качестве массы 𝑚 выступает масса этого атома в целом, и тогда эффективная величина отношения 𝐸фотон/𝑚 оказывается в 20 тысяч раз меньше, чем при рассеянии фотонов на свободных электронах. В случае крепко связанных электронов знаменатель в формуле, описывающей эффект Комптона, становится практически равным единице при любых углах φ, так что энергия рассеянного фотона оказывается очень близка к энергии падающего.
Рис. 152.
▲
71. Измерение энергии фотона
Рис. 153.
На рис. 153 изображена диаграмма импульсов, причём через 𝑃 обозначен импульс электрона после столкновения. Для этого прямоугольного треугольника можно записать
𝑃
²
=
𝑝²
+
𝑝
²
=
𝐸
фотон
²
+
𝐸
фотон
²
,
𝑝
𝑝
=
𝐸фотон
𝐸фотон
=
3
4
.
С другой стороны, имеют место закон сохранения энергии
𝐸
фотон
+
𝑚
=
𝐸
фотон
+
𝐸
и релятивистское соотношение между энергией и импульсом для электрона
𝐸
²
-
𝑃
²
=
𝑚²
.
Из этих уравнений можно найти энергию падающего фотона
𝐸
фотон
=
4𝑚
12
(проверку выполнения всех этих уравнений можно осуществить, используя следующие вспомогательные величины:
𝐸
фотон
=
3𝑚
12
,
𝐸
=
13𝑚
12
,
𝑝
=
5𝑚
12
⎞
⎟
⎠
.
▲
72. Энергия и частота фотона
а) В случае фотона, движущегося вдоль оси 𝑥, формулы преобразования энергии и импульса (78) сводятся к одному-единственному равенству
𝐸'
=
𝐸 ch
θ
𝑟
-
𝑝 sh
θ
𝑟
=
𝐸(ch
θ
𝑟
-
sh
θ
𝑟
)
=
𝐸𝑒⁻
θ𝑟
,
где мы учли формальные определения функций ch θ и sh θ, приведённые в табл. 8.
б) Нулевая вспышка (𝑛=0) проходит через начало координат в момент 𝑡=0, и её распространение описывается в дальнейшем уравнением 𝑥=𝑡, т.е. 𝑡-𝑥=0. Вспышка № 1 (𝑛=1) проходит через начало координат в момент 𝑡=𝑐/ν, так что величина её 𝑥-координаты всегда на 𝑐/ν меньше, чем этой же координаты нулевой вспышки:
𝑥
=
𝑡
-
𝑐
ν
т.е.
1
=
ν
𝑐
(𝑡-𝑥)
.
Вспышка № 𝑛 проходит через начало координат в момент 𝑛𝑐/ν, и её 𝑥-координата всегда на 𝑛𝑐/ν меньше, чем у нулевой вспышки: 𝑥=𝑡-𝑛𝑐/ν, т.е. 𝑛=ν/𝑐⋅(𝑡-𝑥).
Это и есть то уравнение, которое требовалось получить. Свет распространяется с одной и той же скоростью 𝑐 и в лабораторной системе отсчёта, и в системе ракеты, так что те же рассуждения, взятые в применении к системе отсчёта ракеты, дают уравнение
𝑛
=
ν'
𝑐
(𝑡'-𝑥')
.
Подставим сюда значения 𝑡' и 𝑥' из формул преобразования Лоренца; мы получим
𝑛
=
ν'
𝑐
(𝑡-𝑥)(
ch
θ
𝑟
+
sh
θ
𝑟
),
𝑛
=
ν'
𝑐
(𝑡-𝑥)
𝑒
θ𝑟
.
Приравнивая друг другу выражения для 𝑛, полученные в лабораторной системе отсчёта и в системе ракеты, найдём
ν'
=
ν
𝑒⁻
θ𝑟
.
в) Равенства, полученные в частях а) и б) этого упражнения, выглядят одинаково, и это говорит за то, что энергия фотона 𝐸 пропорциональна его классической частоте (как в лабораторной системе отсчёта, так и в системе ракеты). Коэффициент пропорциональности определяется на основании других экспериментов, которых мы здесь не касаемся; окончательно получим
𝐸
=
ℎ
𝑐²
ν
.
