1) Авторы используют здесь свой термин «центр импульса». См. по этому поводу наше примечание на стр. 214 — Прим. перев.
𝑀ε
+
𝐸𝑥
=
0,
откуда окончательный сдвиг платформы определяется в виде
ε
=-
𝐸𝑥
𝑀
.
г) Любой объект, покоящийся в данной системе отсчёта, не совершает в ней механической работы. Поэтому в системе отсчёта платформы перенос энергии слева направо может осуществляться лишь посредством движущейся ремённой передачи. В системе отсчёта стола, если считать, что платформа катится по нему без трения, движение энергии (массы) платформы в целом влево или вправо невозможно. Поэтому масса платформы 𝑀 отступает влево в точности настолько, чтобы компенсировать перенос ремённой передачей энергии (массы) вправо. В этой системе отсчёта скорости переноса энергии платформой и ремённой передачей в точности равны друг другу, но противоположно направлены. Наконец, в системе отсчёта наблюдателя, движущегося вместе с ремённой передачей в какую-то одну сторону, будет значительно ускорен перенос энергии в противоположную сторону встречным движением ремня, так как увеличится относительная скорость, и с этим наблюдателем нельзя не согласиться — ведь для него масса всей системы в целом несомненно находится в быстром движении. ▲
66. Частицы нулевой массы покоя
Вывод соотношения 𝐸²-𝑒²=𝑚² основывается (см. рис. 88 и 89), во-первых, на инвариантности интервала и, во-вторых, на существовании множителя 𝑚, переводящего единичный 4-вектор, касательный к мировой линии, в вектор энергии-импульса, также к ней касательный. В пределе исчезающе малой массы покоя это соотношение принимает вид
𝑒²
=
𝐸²
или
|𝑝⃗|
=
𝐸
,
формула же (90) справедлива для всех скоростей и масс покоя:
𝑝
=
β𝐸
.
Поэтому, если 𝑝𝐸 скорость рассматриваемой частицы β должна быть равна единице: частица должна двигаться со скоростью света. Однако скорость связана с параметром скорости соотношением
β
=
𝑝
𝐸
=
𝑚 sh θ
𝑚 ch θ
=
th θ
.
Отсюда, если скорость равна скорости света, должны быть равны друг другу ch θ и sh θ; следовательно, параметр скорости θ должен быть бесконечно большим. Если рассматривать теперь объект нулевой массы покоя из системы отсчёта ракеты, двигающейся относительно лабораторной системы со скоростью β𝑟 (параметр скорости θ𝑟), то параметр скорости этого объекта будет равен θ'=θ-θ𝑟. Каким бы большим ни был параметр θ𝑟, θ будет бесконечен ввиду бесконечности θ. Следовательно, свет распространяется с одной и той же скоростью в любой инерциальной системе отсчёта, и невозможно найти систему, в которой бы он покоился. Это верно и для любых других частиц, масса покоя которых равна нулю; все они движутся со скоростью света. См. также обсуждение на стр. 159—161. ▲
67. Эйнштейновский вывод принципа эквивалентности энергии и массы покоя — подробный пример
Решение дано в тексте.
68. Устойчивость фотона
Рис. 151
Диаграмма на рис. 151 изображает сохранение импульса в ходе предполагаемого дробления фотона на два других фотона, не сохраняющих его первоначального направления движения. Треугольник образован трёхмерными векторами импульса и построен в обычном трёхмерном эвклидовом пространстве. Поэтому сумма длин его боковых сторон должна быть больше длины основания, т.е.
⎛
⎜
⎜
⎝
Модуль импульса
первого
дочернего фотона
⎞
⎟
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎜
⎝
Модуль импульса
второго
дочернего фотона
⎞
⎟
⎟
⎠
>
>
⎛
⎜
⎝
Модуль импульса
исходного фотона
⎞
⎟
⎠
.
Однако импульс фотона по модулю равен его энергии. Значит, сумма энергий двух дочерних фотонов должна превосходить энергию исходного фотона, а это невозможно. Следовательно, одновременное сохранение и импульса, и энергии невозможно, если только фотоны — продукты дробления — не продолжают двигаться в том же направлении, в котором двигался первоначальный фотон. ▲
69. Давление света
а) Свет лампочки мощностью 1 вт приносит на поглощающую его поверхность 1 дж энергии каждую секунду. 1 дж эквивалентен энергии (массе), равной (1 дж)/𝑐²≈10⁻¹⁷ кг. Эта поверхность поглощает за одну секунду столько же импульса (выраженного в единицах массы); переход к обычным единицам осуществляется путём умножения на скорость света 𝑐 (см. стр. 141), что даёт в данном случае 3⋅10⁻⁹ кг⋅м/сек импульса, поступающего на поглощающую поверхность в секунду. Это соответствует силе, равной 3⋅10⁻⁹ кг⋅м/сек² т.е. 3⋅10⁻⁹ н.
б) Сила, действующая на каждый квадратный метр поглощающего спутника, в 1400 раз больше только что найденной, т.е. равна около 4⋅10⁻⁶ н. Когда свет падает на идеально отражающую поверхность, он отражается от неё в обратную сторону, так что изменение его импульса вдвое превышает полученную прежде величину — мы имеем теперь 8⋅10⁻⁶ н на каждый квадратный метр поверхности. В случае «реальных» поверхностей давление должно быть промежуточным между этими двумя значениями, цвет же поверхности играет роль лишь постольку, поскольку он характеризует её отражательную способность.
в) Запишем выражение для силы, действующей со стороны Солнца на частицу массы 𝑚 как 𝑚𝑎Солнце где 𝑎Солнце=𝐺𝑀/𝑅² — гравитационное ускорение, вызванное притяжением Солнца. (Что касается закона тяготения, см. введение к упражнению 73; вблизи Земли ускорение силы тяжести, вызываемое Солнцем, равно 6⋅10⁻³ м/сек² см. стр. 21). Сила, действующая со стороны солнечного света, представляет собой давление [см. часть б) этого упражнения], умноженное на эффективную поглощающую площадь частицы. Пусть частица имеет сферическую форму и полностью поглощает падающий на неё свет; тогда её поперечное сечение равно π𝑟². Обозначим давление солнечного света через 𝑃. Тогда отталкивающая сила будет равна 𝑃π𝑟², сила же гравитационного притяжения к Солнцу будет 𝑚𝑎Солнце. Нас интересует, каких размеров должна быть частица, чтобы эти силы в точности уравновешивали друг друга:
𝑚𝑎
Солнце
=
π𝑃𝑟²
.
Масса шарообразной частицы связана с её плотностью ρ и радиусом 𝑟 по формуле
𝑚
=
4π
3
𝑟³ρ
.
Подставляя её в уравнение баланса сил, найдём оттуда величину критического радиуса
𝑟
=
3
4
𝑃
ρ𝑎Солнце
.
Чтобы определить численное значение 𝑟, необходимо задаться величиной плотности ρ; предположим поэтому, что она равна плотности воды, 10³ кг/м³. Используя также данные о давлении солнечного света вблизи Земли и о величине солнечного гравитационного ускорения в этой же области, найдём
