/
сек
Среднее расстояние от Земли до Луны
3,84×
⎧
⎨
⎩
10⁸
м
10¹⁰
см
Масса Солнца
𝑀
☉
=
1,989×
⎧
⎨
⎩
10³⁰
кг
10³³
г
Средний радиус Солнца
𝑅
☉
=
6,9598×
⎧
⎨
⎩
10⁸
м
10¹⁰
см
Множители перехода
1
сек
=
2,997925×
⎧
⎨
⎩
10⁸
м
светового времени
10¹⁰
см
1
м
светового времени
=
3,335640⋅10⁻⁹
сек
1
см
светового времени
=
3,335640⋅10⁻¹¹
сек
1
год
=
3,156⋅10⁷
сек
=
9,460×
⎧
⎨
⎩
10¹⁵
м
светового времени
10¹⁷
см
1
км
=
0,6214
мили
1
электронвольт
эв
=
1,602⋅10⁻¹⁹
джоуль
=
1,602⋅10⁻¹²
эрг
Резюме главы 1. СРАВНЕНИЕ ЭВКЛИДОВЫХ ПОВОРОТОВ И ПРЕОБРАЗОВАНИИ ЛОРЕНЦА
𝗘
Эвклидова геометрия трёхмерного пространства
𝗟
Лоренцева геометрия четырёхмерного мира
Задача: найти связь между
𝗘
координатами точки в исходной (нештрихованной) системе координат и координатами той же точки в штрихованной системе координат, повёрнутой относительно предыдущей
𝗟
координатами (в том числе и временем) события в лабораторной системе отсчёта (нештрихованные координаты) и координатами того же события в системе отсчёта ракеты (штрихованные координаты)
Для упрощения исследования берётся частный случай, когда
𝗘
начала обеих систем совпадают
поворот берётся в плоскости 𝑥𝑦, причём ось 𝑦' составляет с осью 𝑦 угол θ𝑟 (наклон 𝑆𝑟=tg θ𝑟) 𝑧=𝑧'
все координаты измеряются в метрах
𝗟
начала совпадают при 𝑡=𝑡'=0 (опорное событие)
система отсчёта ракеты движется в положительном направлении оси 𝑥 лабораторной системы отсчёта, причём параметр скорости равен θ𝑟 (скорость β𝑟=th θ𝑟), 𝑦=𝑦', 𝑧=𝑧'
все координаты измеряются в метрах (в том числе время, измеряемое в «метрах светового времени»)
Сохраняющий одно и то жe значение в обеих системах инвариант имеет вид
𝗘
(Длина)²=𝐿²=𝑥²+𝑦²+𝑧²
Таким образом,
𝑥²+𝑦²=𝑥'²+𝑦'²
𝗟
(Пространственный интервал)²=σ²=-(Временноподобный интервал)²=-τ²=𝑥²+𝑦²+𝑧²-𝑡²
Таким образом,
𝑥²-𝑡²=𝑥'²-𝑡'²
При проверке выполнения последнего условия используется общее свойство
𝗘
cos²θ+sin²θ=1
тригонометрических функций
𝗟
ch²+sh²=1
гиперболических функций
Преобразование от штрихованных к нештрихованным координатам
𝗘
(преобразование эвклидова поворота)
𝑥=𝑥'cos θ𝑟+𝑦'sin θ𝑟 =
𝑥'+𝑆𝑟𝑦'
√1+𝑆𝑟² ; 𝑦=-𝑥'sin θ𝑟+𝑦'cos θ𝑟 =
-𝑆𝑟𝑥'+𝑦'
√1+𝑆𝑟² ;
𝗟
(преобразование Лоренца)
𝑥=𝑥'ch θ𝑟+𝑡'sh θ𝑟 =
𝑥'+β𝑟𝑡'
√1+β𝑟² ; 𝑡=𝑥'sh θ𝑟+𝑡'ch θ𝑟 =
β𝑟𝑥'+𝑦'
√1-β𝑟² ;
Преобразование от нештрихованных к штрихованным координатам
𝗘
𝑥'=𝑥 cos θ𝑟-𝑦 sin θ𝑟 =
𝑥-𝑆𝑟𝑦
√1-𝑆𝑟² ;
𝑦'=𝑥 sin θ𝑟+𝑦 cos θ𝑟 =
𝑆𝑟𝑥+𝑦
√1+𝑆𝑟² .
𝗟
𝑥'=𝑥 ch θ𝑟+𝑡 sh θ𝑟 =
𝑥-β𝑟𝑡
√1-β𝑟² ;
𝑡'=-𝑥 sh θ𝑟+𝑡 ch θ𝑟 =
-β𝑟𝑥+𝑦
√1-β𝑟² .
Фундаментальный закон сложения
𝗘
наклонов:
если некоторая линия образует угол θ с повёрнутой осью 𝑦', то угол θ, образуемый этой же линией с исходной осью 𝑦, определяется выражением
θ=θ'+θ𝑟,
или для относительных наклонов tg θ =
tg θ'+tg θ𝑟
1-tg θ' tg θ𝑟 , 𝑆 =
𝑆'+𝑆𝑟
1-𝑆'𝑆𝑟
𝗟
скоростей:
если пуля движется в направлении оси 𝑥 и параметр её скорости равен θ' в штрихованной системе отсчёта ракеты, то параметр скорости пули относительно нештрихованной лабораторной системы отсчёта θ определяется выражением
θ=θ'+θ𝑟,
или для относительных скоростей th θ =
th θ'+th θ𝑟
1+th θ' th θ𝑟 , β =
β'+β𝑟
1+β'β𝑟
Сводка формул главы 2, выраженных в единицах массы и в обычных единицах
𝗠
Формулы, включающие 𝑝, 𝐸, 𝑇, выраженные в единицах массы
𝗢
Формулы, включающие 𝑝обычн=𝑝𝑐, 𝐸обычн=𝐸𝑐², 𝑇обычн=𝑇𝑐², выраженные в обычных единицах
𝗙
Номера формул
Единицы измерения
Импульс
𝗠
килограммы, граммы или, например, жетоны для автоматов, продающих подсолнечное масло
𝗢
кг⋅м/сек, г⋅м/сек или (например) жетон⋅вершок/сек
Энергия
𝗠
килограммы, граммы или, например, те же жетоны
𝗢
джоуль, Мэв, эрг или, например, фунт⋅вершок
Ньютоновские формулы (приближение малых скоростей)
𝗠
𝑝 = 𝑚β , 𝑇 =
1
2 𝑚β²
𝗢
𝑝обычн = 𝑚β𝑐 = 𝑚𝑣 𝑇обычн =
1
2 𝑚β²𝑐² =
1
2 𝑚𝑣²
𝗙
67, 68
Релятивистские формулы
Компоненты 4-вектора энергии-импульса
𝗠
𝑝 𝑡 = 𝐸 = 𝑚
𝑑𝑡
𝑑τ 𝑝 𝑥 = 𝑚
𝑑𝑥
𝑑τ 𝑝 𝑦 = 𝑚
𝑑𝑦
𝑑τ 𝑝 𝑧 = 𝑚
𝑑𝑧
𝑑τ
𝗢
𝐸обычн = 𝑚𝑐²
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑡
𝑑τ
⎞
⎟
⎠ 𝑝обычн𝑥 = 𝑚𝑐
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑥
𝑑τ
⎞
⎟
⎠ 𝑝обычн𝑦 = 𝑚𝑐
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑦
𝑑τ
⎞
⎟
⎠ 𝑝обычн𝑧 = 𝑚𝑐
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑧
𝑑τ
⎞
⎟
⎠
𝗙
77
Абсолютная величина импульса
𝗠
𝑝 = √(𝑝𝑥)²+(𝑝𝑦)²+(𝑝𝑧)² = = 𝑚
𝑑𝑟
𝑑τ = = 𝑚 sh θ = =
