* * *

Второе издание книги дополнено ответами на упражнения, присланными авторами. Читателя, таким образом, ожидает искушение сразу заглянуть в эти ответы, не утруждая себя решением упражнений. Если он пойдёт на это — тем хуже для него. Напротив, уже решив упражнение, полезно посмотреть ответ и сравнить свой метод решения с предлагаемым авторами.

В этом издании мы добавили новую задачу, по духу близкую к составленным самими авторами и касающуюся одного визуально наблюдаемого эффекта, где наряду с обычной релятивистской кинематикой важную роль играют законы распространения света (задача № 54а).

Редакция и переводчик благодарят авторов книги за любезную присылку ответов на упражнения.

Н. Мицкевич

1. ГЕОМЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ

1. ПРИТЧА О ЗЕМЛЕМЕРАХ

Жили-были в тридевятом царстве два племени — дневное и ночное, и правил ими король. Королевские земли для нужд дневного племени мерил дневной землемер. Направления на север и на восток он определял по магнитной стрелке компаса. Работая, он откладывал к востоку от центра столичной площади расстояния в метрах (𝑥 в метрах), а расстояния в северном направлении, которые считались священными, он измерял в других единицах — милях (𝑦 в милях). Он делал своё дело аккуратно и добросовестно, так что люди его племени часто пользовались записями своего землемера.

Дневной землемер ориентировался на магнитный северный полюс

Люди ночного племени пользовались услугами другого землемера, который определял направления на север и на восток по Полярной звезде. И этот землемер отсчитывал расстояния к востоку от центра столичной площади в метрах (𝑥' в метрах), а священные расстояния к северу — в милях (𝑦' в милях). Он тоже делал своё дело аккуратно и добросовестно. Все углы земельных участков характеризовались в его реестре значениями двух координат: 𝑥' и 𝑦'.

Ночной землемер ориентировался на Полярную звезду

Однако настал день, когда в землемерном училище появился студент, лишённый предубеждений. Вопреки установившейся традиции он стал посещать занятия, которые вели и дневной, и ночной землемеры — главы обоих соперничающих направлений. Первый из них научил нашего студента на дневных занятиях, как определять положение городских ворот и углов земельных участков по своему методу. На ночных занятиях студент изучил метод другого землемера. Шли дни и ночи, и наш студент всё больше задумывался над тем, как привести в разумное соответствие оба эти метода определения местоположения объектов. Он произвёл сравнение данных о положении городских ворот относительно центра столичной площади, полученных обоими землемерами, и получил табл. 1.

Таблица 1.

Две разные системы данных, характеризующие одну и ту же точку

Точка (место)

Данные, взятые относительно координатных осей дневного землемера, ориентированных по магнитному компасу

(

𝑥

в метрах,

𝑦

в милях

)

Данные, взятые относительно координатных осей ночного землемера, ориентированных по Полярной звезде

(

𝑥'

в метрах,

𝑦'

в милях

)

Городская площадь

0

0

0

0

Ворота

𝐴

𝑥

_𝐴

𝑦

_𝐴

𝑥

_𝐴

'

𝑦

_𝐴

'

Ворота

𝐵

𝑥

_𝐵

𝑦

_𝐵

𝑥

_𝐵

'

𝑦

_𝐵

'

Прочие ворота

…

…

…

…

В нарушение всех традиций студент сделал смелый и еретический шаг и перевёл результаты измерений в северном направлении, прежде всегда выражавшиеся в милях, в метры с помощью постоянного множителя перевода 𝑘. Тогда он обнаружил, что величина √(𝑥_𝐴)²+(𝑘𝑦_𝐴)², вычисленная по данным дневного землемера о положении ворот 𝐴, численно в точности равна величине √(𝑥_𝐴')²+(𝑘𝑦_𝐴')², вычисленной по данным ночного землемера для тех же ворот 𝐴. Проделав эти операции с данными о положении ворот 𝐵, студент и для них нашёл полное согласие. Возбуждение студента достигло предела, когда он испробовал свой метод на данных о всех других городских воротах и во всех случаях получил подтверждение своей догадки. Он решил дать имя новооткрытой величине и назвал

√

(𝑥)²+(𝑘𝑦)²

(1)

расстоянием точки (𝑥,𝑦) от центра города. Он заявил, что им открыт принцип инвариантности расстояния, т.е. что расстояния, вычисленные с помощью координат дневного и ночного землемеров, в точности совпадают, хотя сами значения этих координат совершенно различны.

Открытие: расстояние инвариантно

Эта притча иллюстрирует то примитивное состояние, в котором находилась физика до того, как Эйнштейн в Берне, Лоренц в Лейдене и Пуанкаре в Париже открыли частную теорию относительности. Насколько примитивное?

Рис. 1. Схема города и городских ворот с нанесёнными на неё осями координат, используемыми двумя разными землемерами.

1. Землемеры мифического королевства измеряли расстояния в северном направлении в священных единицах — милях, иных, чем единицы, в которых они измеряли расстояния в восточном направлении. Аналогично люди, занимавшиеся физикой, измеряли время в священных единицах — секундах, иных, чем единицы, в которых они измеряли пространство. Никому не приходило в голову применить и здесь и там одни и те же единицы или попытаться комбинировать друг с другом возведённые в квадрат пространственную и временную координаты, выраженные в метрах. Множитель перехода между секундами и метрами, а именно скорость света 𝑐=2,997925⋅10⁸ метра в секунду, считался священным числом. Никто не считал его просто множителем перехода, подобным множителю перехода между милями и метрами, т.е. множителем, который возник лишь благодаря исторической случайности и лишён глубокого физического смысла.

2. В нашей притче северные координаты 𝑦 и 𝑦', определённые разными землемерами, не очень сильно отличались друг от друга, потому что соответствующие направления на север были разделены лишь малым углом 10°. Наш мифический студент сначала думал, что малое различие между 𝑦 и 𝑦' вызвано просто ошибками в геодезической съёмке. Аналогично этому люди думали, что время между взрывами двух хлопушек будет одним и тем же, кто бы его ни измерял. И лишь в 1905 г. мы узнали, что разница во времени между двумя событиями (первое из которых берётся в качестве начала отсчёта —«опорное событие») в действительности неодинакова (равна 𝑡 и 𝑡') для наблюдателей, находящихся в разных состояниях движения. Пусть первый наблюдатель неподвижен относительно лаборатории, а второй наблюдатель пролетает мимо в сверхскоростной ракете. Ракета влетает через парадный вход, проносится через длинный коридор и вылетает в дверь чёрного хода. В коридоре взрываются сначала первая хлопушка («опорное событие»), а затем вторая («событие 𝐴»). Оба наблюдателя уславливаются между собой, что опорное событие определяет начало отсчёта времени и начало отсчёта расстояния.

Пусть второй взрыв произошёл, например, через 5 сек после первого по данным лабораторных часов и на 12 м дальше по коридору. Тогда его временна́я координата равна 𝑡_𝐴 = 5 сек, а пространственная 𝑥_𝐴 = 12 м.