²)⁻¹
/
²
=
[1-(24/25)]⁻¹
/
²
=
=
(69/625)⁻¹
/
²
=
25/7
.
Поэтому, если 𝑡'=7 лет, то 𝑡=255 лет, что уже было получено в упражнении 27. ▲
82. «Не превышайте скорости»
Скорость приближающейся машины равна 𝑣𝑟=80 миль/час=36 м/сек. Отсюда
β
𝑟
=
𝑣𝑟
𝑐
=
12⋅10⁻⁸
Частота ν' в системе отсчёта машины может быть получена из уравнения (122), если принять φ=π. Ограничиваясь в разложении членами первой степени по β𝑟, найдём
ν'
=
ν
пад
⎛
⎜
⎝
1+β𝑟
1-β𝑟
⎞½
⎟
⎠
≈
ν
пад
⎛
⎜
⎝
1
+
β𝑟
2
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
1
+
β𝑟
2
⎞
⎟
⎠
,
ν'
=
ν
пад
(1+β
𝑟
).
Затем радиолокационный луч отражается от машины в противоположном направлении, и при этом в системе отсчёта машины частота ν' остаётся неизменной. Частоту, наблюдаемую в системе отсчёта автострады (лаборатории), можно найти из уравнения, обратного (122) (см. первую формулу в упражнении 76),
ν
отр
=
ν'
ch
θ
𝑟
⋅
(1+β
𝑟
cos φ').
Теперь φ'=0, так что
ν
отр
=
ν'
⎛
⎜
⎝
1+β𝑟
1-β𝑟
⎞½
⎟
⎠
≈
ν'
(1+β
𝑟
).
Подставляя сюда полученное выше выражение для ν' найдём
ν
отр
≈
ν
пад
(1+β
𝑟
)²
≈
ν
пад
(1+2β
𝑟
).
Сдвиг частоты приблизительно равен
ν
отр
-
ν
пад
=
ν
пад
⋅
2β
𝑟
=
(2455
Мгц
)⋅2⋅12⋅10⁻⁸
≈
≈
590⋅10⁻⁶
Мгц
=
590
гц
.
Наименьшее изменение частоты, поддающееся обнаружению, равно
Δ
ν
отр
=
2ν
пад
Δ
β
𝑟
.
Если Δ𝑣𝑟=10 миль/час=4,47 м/сек, то Δβ𝑟≈10⋅10⁻⁸, и мы получим относительный сдвиг частоты
Δ
ν
отр
/
ν
пад
=
2
Δ
β
𝑟
≈
3⋅10⁻⁸
.
▲
83. Допплеровское уширение спектральных линий
Приравняйте ньютоновское выражение для кинетической энергии её выражению через температуру:
1
2
𝑚
〈𝑣²〉
ср
=
3
2
𝑘𝑇
.
Отсюда
⎛
⎝
〈𝑣²〉
ср
⎞½
⎠
=
⎛
⎜
⎝
3𝑘𝑇
𝑚
⎞½
⎟
⎠
и
β
𝑟
≈
1
𝑐
⎛
⎝
〈𝑣²〉
ср
⎞½
⎠
=
⎛
⎜
⎝
3𝑘𝑇
𝑚𝑐²
⎞½
⎟
⎠
.
Возьмите уравнение, обратное (122),
ν
=
ν'
ch
θ
𝑟
⋅
(1+β
𝑟
cos φ')
для того, чтобы определить сдвиг частот; положите здесь φ'=0 и используйте приближение для малых β𝑟:
ν
=
ν'
⎛
⎜
⎝
1+β𝑟
1-β𝑟
⎞½
⎟
⎠
≈
ν'
⎛
⎜
⎝
1+
1
2
β
𝑟
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
1+
1
2
β
𝑟
⎞
⎟
⎠
≈
≈
ν'
(1+β
𝑟
).
Тогда
ν-ν'
ν'
≈
Δν
ν
=
β
𝑟
=
⎛
⎜
⎝
3𝑘𝑇
𝑚𝑐²
⎞½
⎟
⎠
.
Наблюдаемая частота будет выше для тех частиц, которые приближаются к наблюдателю, и ниже для тех, которые удаляются. В целом при температурах, совместимых с ньютоновским приближением, должен наблюдаться эффект разброса частот, выражаемый полученной выше формулой («допплеровское уширение спектральных линий»). ▲
84. Изменение энергии фотона вследствие отдачи излучателя
а) Воспользуемся законами сохранения для того, чтобы определить энергию и импульс частицы, испытывающей отдачу:
𝑚
ch
θ
𝑟
=
𝑚
-
𝐸
(энергия),
𝑚
sh
θ
𝑟
=
𝐸
(импульс).
Возведите каждое из этих равенств в квадрат и вычтите первое из второго
𝑚
²
(ch²
θ
𝑟
-
sh²
θ
𝑟
)
=
𝑚
²
=
(𝑚-𝐸)²
-
𝐸²
=
=
𝑚²
