-
2𝑚𝐸
.
Отсюда следует выражение для энергии
𝐸
=
𝑚²-𝑚²
2𝑚
.
В частном случае, когда отношение
𝑚-𝑚
𝑚
мало',
𝐸
=
(𝑚+
𝑚
)
𝑚-𝑚
2𝑚
≈
𝑚
-
𝑚
=
𝐸₀
(тем самым определяется 𝐸₀). В точном выражении заменим повсюду 𝑚 по формуле 𝑚=𝑚-𝐸₀; получим
𝐸
=
𝐸₀
𝑚-𝑚
2𝑚
=
𝐸₀
𝑚+𝑚-𝐸₀
2𝑚
=
𝐸₀
⎛
⎜
⎝
1
-
𝐸₀
2𝑚
⎞
⎟
⎠
,
что и требовалось показать.
б) Относительная поправка за счёт отдачи при излучении атомами видимого света составляет
Δ𝐸
𝐸₀
≈
3 эв
2⋅10¹⁰ эв
=
1,5⋅10⁻¹⁰
(отдача).
Если 𝑘𝑇≈1/40 эв, то формула, полученная в упражнении 83, даёт
Δν
ν
=
Δ𝐸
𝐸₀
=
√3/40
√10⋅10⁹
≈
3⋅10⁻⁶
(по Допплеру).
Мы видим, что допплеровское уширение частот видимого света, излучаемого атомами, намного больше, чем эффект сдвига энергии фотона за счёт отдачи атома. ▲
85. Эффект Мёссбауэра
Возьмём из предыдущего упражнения уравнение (123)
Δ𝐸
𝐸₀
=-
𝐸₀
2𝑚
.
Как энергию испущенного фотона 𝐸₀=14,4⋅10³ эв, так и массу покоя 𝑚 испустившей его частицы нужно выразить в одних и тех же единицах. Масса покоя протона приблизительно равна 10⁹ эв (см. данные в конце книги); масса покоя 𝙵𝚎⁵⁷, состоящего из 26 протонов и 31 нейтрона, превышает эту величину примерно в 57 раз. Следовательно,
Δ𝐸
𝐸₀
≈-
14⋅10³ эв
2⋅57⋅10⁹ эв
≈-
10⁷
.
б) Когда 𝑚=1 г=10⁻³/(1,7⋅10⁻²⁷ кг/протон)≈0,6⋅10²⁴ масс протонам ≈0,6⋅10³³ эв, мы получим
Δ𝐸
𝐸₀
≈-
14⋅10³ эв
6⋅10³² эв
≈-
2⋅10⁻²⁹
— относительный сдвиг, намного меньший, чем в случае свободного атома железа! [ср. часть а)].
в) Воспользовавшись результатами упражнения 72, найдём частоту:
𝐸₁
обычн
=
(14,4⋅10³
эв
)
(1,6⋅10⁻¹⁹
дж
/
эв
)
=
=
23⋅10⁻¹⁶
дж
=
ℎν₀
или
ν₀
=
23⋅10⁻¹⁶ дж
6,6⋅10⁻³⁴ дж/сек
=
3,5⋅10¹⁸
гц
.
Ширина линии Δν в герцах равна
Δ
ν
=
Δν
ν₀
ν₀
=
3⋅10⁻¹³⋅3,5⋅10¹⁸
гц
=
10⁶
гц
.
Относительная ширина спектральной линии, равная 3⋅10⁻¹³, намного меньше, чем относительный сдвиг, обусловленный отдачей свободного атома [т.е. 10⁻⁷ — результат, полученный в части а)], и вместе с тем намного больше, чем относительный сдвиг в процессе без отдачи [2⋅10⁻²⁹ для однограммового образца; см. часть б)]. ▲
86. Резонансное рассеяние
Фотон выполняет двоякую роль. Во-первых, он возбуждает атом, прежде находившийся в состоянии с основной энергией (массой) 𝑚, переводя его в состояние с 𝑚. Для этого он должен столкнуться с атомом и поглотиться им, а значит, передать ему нежелательный толчок. Следовательно, и это во-вторых, фотон передаёт атому также кинетическую энергию отдачи. Если у фотона запас энергии будет достаточен лишь для выполнения первой роли, то он никак не сможет выполнить ни её, ни вторую роль. Если, однако, атом обладает очень большой массой, то при отдаче он приобретёт весьма малую скорость и потеря энергии на отдачу будет мала. Тогда энергия фотона может быть очень близкой к разности 𝑚-𝑚. Кинетическую энергию, переданную атому, в случае таких малых скоростей можно рассчитывать с помощью законов ньютоновской механики:
𝑇
≈
(Импульс)²
2⋅(Масса)
≈
(𝑚-𝑚)²
𝑚
.
Отсюда можно заключить, что относительная поправка для энергии отдачи приближённо выражается как
Энергия отдачи
Энергия возбуждения
=
𝑇
𝑚-𝑚
≈
𝑚-𝑚
𝑚
.
В случае свободного атома железа 𝙵𝚎⁵⁷ это отношение равно
14,4 кэв
2⋅57⋅931 000 кэв
=
1,4⋅10⁻⁷
т.е. оно слишком велико, чтобы его «не заметил» атом железа. Атом (точнее, его ядро) требует, чтобы энергия падающего фотона выдерживалась с относительной точностью около 3⋅10⁻¹³, иначе этот фотон не будет поглощён. Если же атом принадлежит кристаллу и речь идёт о «поглощении без отдачи», то отдачу приобретает масса кристалла, равная целому грамму, а это 10²² атомов. Увеличение знаменателя дроби в 10²² раз приводит к тому, что вместо прежней относительной поправки на энергию отдачи, равной 1,4⋅10⁻⁷, мы получаем 1,4⋅10⁻²⁹, за которой никакой атом железа не «уследит», и фотон будет поэтому поглощён. ▲
87. Измерение допплеровского смещения по резонансному рассеянию
Возьмём первую формулу из упражнения 76
𝐸
=
𝐸
'
ch
θ
𝑟
⋅
(1+β
𝑟
cos
φ')
(источник в системе отсчёта ракеты, поглощающий атом — в лабораторной системе отсчёта). Положим здесь φ'=0 и 𝐸 '=𝐸₀ и запишем результат приближённо для малых скоростей β𝑟:
𝐸
=
𝐸₀
⎛
⎜
⎝
1+β𝑟
1-β𝑟
⎞
⎟
⎠
≈
𝐸₀
⎛
⎜
⎝
1
+
β𝑟
2
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
1
+
β𝑟
2
⎞
⎟
⎠
≈
≈
𝐸₀
(1+β
𝑟
)
или
𝐸-𝐸₀
𝐸₀
≈
Δ𝐸
𝐸₀
≈
β
𝑟
.
Относительный допплеровский сдвиг частоты, равный 3⋅10⁻¹³, получается, когда скорость также составляет 3⋅10⁻¹³ скорости света, т.е.
𝑣
𝑟
=
3⋅10⁻¹³⋅3⋅10⁸
м
/
сек
≈
10⁻⁴
м
/
сек
=
10⁻²
см
/
сек
.
Число зарегистрированных счётчиком гамма-квантов при этом увеличится, так как поглотитель беспрепятственно пропустит сквозь себя больше падающих на него фотонов, не подвергнув их резонансному рассеянию. Когда источник фотонов удаляется от поглотителя, относительный сдвиг частоты будет отличаться от случая приближения источника лишь знаком, что соответствует изменению знака β𝑟. В целом поведение счётчика изображено на рис. 154.
