(121)
б) Найдите обратные уравнения, выражающие 𝐸 и cos φ через 𝐸', cos φ' и β𝑟. Сравните эти обратные уравнения с полученными в упражнении 22 («эффект прожектора»).
в) Если частота света в лабораторной системе отсчёта равна ν, то чему равна частота этого света ν' в системе отсчёта ракеты? Такое различие частот, обусловленное относительным движением, носит название релятивистского эффекта Допплера (упражнение 6). Позволяют ли полученные уравнения определить, в какой системе отсчёта покоится источник фотонов? ▼
76. Распад π⁰-мезона; подробный пример
Нейтральный пи-мезон (π⁰-мезон), движущийся в лабораторной системе отсчёта в направлении оси 𝑥 и обладающий кинетической энергией, равной его энергии покоя, распадается на два фотона. В системе отсчёта ракеты, где мезон покоится, эти фотоны разлетаются в положительном и отрицательном направлениях оси 𝑦'. Определите энергии фотонов в системе отсчёта ракеты (в единицах энергии покоя мезона) и энергии и направления вылета фотонов в лабораторной системе отсчёта.
Решение. В системе отсчёта ракеты π⁰-мезон до своего распада покоился (импульс равен нулю). Он никак не мог распасться на один фотон, не нарушив сохранения импульса. При распаде на два фотона импульс сохранится, если: а) фотоны разлетаются в противоположных направлениях в той системе отсчёта, где мезон до своего распада покоился, и б) импульсы этих фотонов в такой системе равны по абсолютной величине, так что фотоны обладают одинаковыми энергиями (для фотонов 𝐸'=𝑝'). Таким образом, в системе отсчёта ракеты задача имеет следующее решение: каждый фотон уносит половину энергии покоя мезона, 𝐸'=𝑚/2. Кроме того, эти фотоны по условию должны разлетаться в положительном и отрицательном направлениях оси 𝑦' (φ=±90°, так что cos '=0).
Энергия и направление вылета каждого из фотонов в лабораторной системе отсчёта могут быть найдены по формулам, полученным в упражнении 75:
𝐸
=
𝐸' ch θ
𝑟
⋅
(1+β
𝑟
cos φ')
,
cos φ
=
cos φ'+β𝑟
1+β𝑟 cos φ'
.
Прежде всего необходимо найти величины θ𝑟, и β𝑟. Согласно условию задачи, кинетическая энергия мезона в лабораторной системе отсчёта до его распада была равна массе покоя; тогда
𝐸
π
≡
𝑚 ch θ
𝑟
≡
𝑇
+
𝑚
=
2𝑚
,
откуда
ch θ
𝑟
=
1
√1-β𝑟²
=
2
,
так что
β
𝑟
=
√3
2
.
Подставьте теперь эти данные и величину 𝐸'=𝑚/2 в уравнения преобразования, и вы получите
𝐸
=
𝑚
,
cos φ
=
β
𝑟
=
√3
2
,
так что φ=30°. Величину энергии можно было бы найти непосредственно по симметрии распада и по равенству полной энергии мезона до распада 2𝑚. Выводы подытожены на рис. 112. Проверьте, что в лабораторной системе отсчёта импульс сохраняется, как и энергия.
Рис. 112. Решение задачи о распаде π⁰-мезона.
77. Полёт неоновой лампочки
Неоновая лампочка, которая в своей системе покоя изотропно во всех направлениях излучает красный свет, приближается к наблюдателю с очень большого расстояния, двигаясь со скоростью, близкой к скорости света, по прямолинейному пути, отстоящему от наблюдателя на расстоянии 𝑙 по перпендикуляру. С течением времени изменяются как цвет излучения, так и число фотонов, приходящих к наблюдателю от лампочки. Качественно опишите эти изменения на различных этапах движения. Рассмотрите как эффект Допплера, так и «эффект прожектора» (упражнения 75 и 22). ▼
78. Физик и светофор
Физика задержали за то, что он поехал на красный свет. На суде он заявил, что приближался к перекрёстку на скорости, при которой красный свет казался ему зелёным. Судья, получивший в своё время физическое образование, обвинил тогда физика в превышении предельной скорости и присудил его к уплате одного доллара за превышение местного предела скорости 20 миль/час на каждую милю в час. Чему равна сумма штрафа? Примите длину волны зелёного света равной 5300 Å (1 Å=10⁻¹⁰ м), а длину волны красного света — 6500 Å. Учтите, что свет распространялся в отрицательном направлении оси 𝑥 (φ=φ'=π). ▼
79. Допплеровское смещение на краю диска Солнца
Солнце совершает один оборот вокруг своей оси за 24,7 суток. Радиус Солнца составляет около 7,0⋅10⁸ м. Вычислите величину допплеровского смещения, которое должно наблюдаться для света с длиной волны 5000 Å (1 Å=10⁻¹⁰ м) на одном из краёв диска Солнца вблизи его экватора. Происходит ли это смещение в стороны красного или синего конца видимого спектра? Сравните величину смещения Допплера с величиной гравитационного красного смещения для поверхности Солнца (упражнение 73). ▼
80. Расширяющаяся Вселенная. (Вспомните упражнение 6)
а) Производится спектрометрическое исследование света, приходящего от далёкой галактики. Спектральную линию с длиной волны 7300 Å удаётся отождествить (по её положению в общей картине линий) со спектральной линией водорода, обладающей для излучения водорода в условиях лаборатории длиной волны 4870 Å. Если изменение длины волны обусловлено эффектом Допплера, то с какой скоростью должна двигаться относительно Земли исследуемая галактика? Заметьте, что свет распространяется в направлении, противоположном направлению движения галактики (φ=φ'=π).
б) Полученные независимым путём данные говорят о том, что исследуемая галактика находится от нас на расстоянии 5 миллиардов световых лет. Оцените время, прошедшее с момента, когда эта галактика отделилась от нашей Галактики (Млечного Пути), приняв для простоты, что в прошлом скорость удаления была всегда постоянной (не замедлялась под действием взаимного притяжения галактик). Астроном Эдвин Хаббл обнаружил в 1929 г. 1), что это время (обратная которому величина носит название постоянной Хаббла, так что его можно называть хаббловским временем) приблизительно одинаково для всех галактик, расстояния до которых и скорости которых удалось измерить. Отсюда возникло представление о расширяющейся Вселенной 2). Приведёт ли к увеличению или уменьшению в оценке времени, прошедшего с начала расширения, учёт влияния тяготения в прошлом, приводящий к замедлению этого расширения?
1) Е. Hubble, Proс. U. S. National Acad. Sci., 15, 168 (1929).
2) Дальнейшие подробности см., например, в книге Hermann Bondi, Cosmology, Cambridge University Press, Second Edition, 1960. [Теоретически возможность расширяющейся модели Вселенной была предсказана еще в 1921 г. А. А. Фридманом; см. его работы, перепечатанные в Успехах физических наук, 86, № 3 (1963).— Прим. перев.]
▼
81*. Анализ парадокса часов с помощью эффекта Допплера 3)
3) Е. Feenberg, American Journal of Physics, 27, 190 (1959).
