Проблема парадокса часов (см. упражнения 27 и 49) может быть изящно разрешена с помощью учёта эффекта Допплера. Вспомним, что Павел оставался на Земле, тогда как Пётр летал с огромной скоростью β_𝑟 до далёкой звезды и обратно на Землю. Пусть они оба наблюдали удалённую переменную звезду, яркость которой попеременно ослабевает и увеличивается с частотой ν в системе отсчёта Земли (ν' в системе отсчёта ракеты). Предположим, что расстояние до этой переменной звезды намного превышает длину пути Петра, а направление на неё в системе отсчёта Земли перпендикулярно направлению движения Петра. Оба наблюдателя зарегистрируют одно и то же общее число пульсаций переменной в течение всего путешествия Петра от его вылета до возвращения. Исходя из этого факта и из формулы для допплеровского смещения (упражнение 75)

ν'

=

ν ch θ

_𝑟

⋅

(1-β

_𝑟

 cos φ)

(122)

при данном угле наблюдения φ= 90° в лабораторной системе отсчёта, проверьте утверждение, что к концу путешествия, описанного в упражнении 27, Пётр постареет всего на 14 лет, тогда как Павел — на все 50. ▼

82*. «Не превышайте скорости»

На автостраде установлен стационарный радиолокатор, сдвиг частоты луча которого, отражённого от едущей навстречу ему машины, используется для измерения скорости её. Одна из таких установок, используемых полицией в штате Нью-Джерси, работает на частоте 2455 Мгц. Насколько сдвигается частота отражённого луча, если приближающаяся к радиолокатору машина имеет скорость 80 миль/час (1 миля/час = 0,447 м/сек). (Произведите приближённый расчёт, предполагая, что автомашина служит источником той же частоты, какой обладает излучение, падающее на неё в её системе покоя. Для того чтобы решить эту задачу, необходимо произвести два преобразования: от системы отсчёта автострады к системе отсчёта машины, а затем от системы отсчёта машины вновь к системе отсчёта автострады). Допустим, что радиолокационная установка способна различать скорости, разность между которыми составляет не менее 10 миль/час. Какое относительное изменение частоты может зарегистрировать эта установка? ▼

83*. Допплеровское уширение спектральных линий

Средняя кинетическая энергия атома газа при температуре 𝑇°𝐊 (шкала Кельвина) равна ³/_₂⋅𝑘𝑇 (Константа 𝑘 называется постоянной Больцмана и равна 1,38⋅10⁻²³ дж/град). Определите относительное изменение частоты, обусловленное допплеровским смещением, которое будет наблюдаться в излучении атомов газа при температуре 𝑇. Используйте в качестве приближения для малых скоростей ньютонову механику. Будет ли наблюдаемая частота больше или меньше вследствие эффекта Допплера? Это явление — причина того, почему любая данная спектральная линия газа, возбуждённого электрическим разрядом, состоит из узкой полосы частот вокруг некоторой центральной частоты. Оно называется допплеровским уширением спектральных линий. ▼

84*. Изменение энергии фотона вследствие отдачи излучателя

а) Свободная частица, первоначально покоившаяся и обладавшая массой покоя 𝑚, излучает фотон с энергией 𝐸. Эта частица (её масса покоя стала равна 𝑚) испытывает отдачу, и её параметр скорости становится равен θ (рис. 113).

Рис. 113. Отдача, испытываемая частицей при испускании фотона.

Сформулируйте законы сохранения таким образом, чтобы в них не фигурировала ни скорость, ни параметр скорости. Рассмотрите тот случай, когда относительное изменение массы покоя в процессе излучения намного меньше единицы. Покажите, что энергия фотона равна 𝐸₀=𝑚-𝑚. Покажите также, что в общем случае

𝐸

=

𝐸₀

⎛

⎜

⎝

1

-

𝐸₀

2𝑚

⎞

⎟

⎠

или

𝐸-𝐸₀

𝐸₀

=

Δ𝐸

𝐸₀

=-

𝐸₀

2𝑚

.

(123)

б) Покажите, что такое изменение энергии в области видимого света (𝐸₀,_обычн ≈3 эв), излучаемого атомами газа (𝑚𝑐≈10⋅10⁹ эв), намного меньше, чем обусловленное эффектом Допплера, вследствие теплового движения атомов (упражнение 83) даже при таких низких температурах, как комнатные (𝑘𝑇≈1/40 эв). ▼

85*. Эффект Мёссбауэра

а) Свободный атом железа 𝙵𝚎⁵⁷, образовавшийся в так называемом «возбуждённом состоянии» при радиоактивном распаде кобальта 𝙲𝚘⁵⁷, при переходе в «нормальное состояние» атома 𝙵𝚎⁵⁷ излучает из ядра гамма-квант (фотон высокой энергии) с энергией 14,4 кэв. Чему будет равно относительное изменение энергии гамма-кванта, вызванное эффектом отдачи атома? Масса атома 𝙵𝚎⁵⁷ составляет около 57 масс протона.

б) В 1958 г. 29-летний P. Л. Мёссбауэр сделал важное открытие, что не все излучаемые гамма-кванты испытывают такой сдвиг частоты ¹). Исходя из квантовой механики, он доказал теоретически, подтвердив свой вывод экспериментальной проверкой, что когда атомы железа включены в твёрдое тело (поскольку атомы железа образовались при радиоактивном распаде атомов кобальта, первоначально включённых в это твёрдое тело), значительная часть этих атомов железа не испытывает отдачи, свойственной свободным атомам в момент излучения. Напротив, они ведут себя так, как если бы их жёстко связали с покоящимся твёрдым телом. Импульс отдачи передаётся при этом всему телу как целому. Но масса тела превышает массу отдельного атома на много порядков (степеней 10), и в этом случае мы имеем явление, названное процессом без отдачи. (Излучение фотонов ядрами атомов, связанных в твёрдом теле, не сопровождающееся эффектом отдачи, напоминает один из фактов, обнаруженных Комптоном, а именно что некоторые из фотонов, рассеянных крепко связанными в атоме электронами, приобретают очень малое изменение энергии, так как атом испытывает отдачу как единое целое; см. упражнение 70). Для гамма-лучей, испускаемых в процессах без отдачи, в упражнении 84 в качестве 𝑚 следует взять массу всего куска металла, в которой заключены атомы железа. Если эту массу принять равной 1 г, чему будет равен относительный сдвиг частоты гамма-кванта в процессе «без отдачи»?

¹) За это открытие немецкий учёный был удостоен Нобелевской премии 1961 г.; подробности см. в статье S. DeBenedetti, The Mössbauer Effect, Scientific American, 202, 72 (April, 1960).

Рис. 114. Естественная ширина линии для фотона, испущенного ядром 𝙵𝚎⁵⁷.

в) Испущенные возбуждёнными ядрами 𝙵𝚎⁵⁷ гамма-лучи не состоят из квантов, несущих в точности одну и ту же энергию; их энергии сосредоточены в узком диапазоне (это же касается и их частот), обусловливающем естественную ширину линии. Практически из тысячи или более фотонов можно выделить несколько классов. Любой данный фотон принадлежит к тому или другому классу в зависимости от того, в каком из многих равных по ширине интервалов лежит его частота. Число фотонов в каждом классе как функция частоты изображается графически и образует колоколообразную кривую (рис. 114). Ширина этой кривой на высоте половины её максимума обозначается через Δν. Для гамма-квантов, излучаемых 𝙵𝚎⁵⁷ и обладающих энергией 14,4 кэв, отношение Δν/ν₀ весьма мало и равно 3⋅10⁻¹³. Чему равна естественная ширина линии Δν излучения ядер 𝙵𝚎⁵⁷ в герцах? Сравните естественную относительную ширину линии с относительным сдвигом частоты, вызываемым отдачей свободного атома железа. Сравните её также с относительным сдвигом частоты гамма-лучей в процессе без отдачи.