Релятивистское выражение для кинетической энергии

Можно считать, что релятивистская энергия частицы в любой системе отсчёта складывается из двух частей: энергии покоя частицы 𝑚 плюс дополнительной энергии, которой обладает частица благодаря своему движению. Этот добавок и есть кинетическая энергия частицы. Тогда релятивистское выражение для кинетической энергии имеет вид

𝑇

=

𝐸-𝐸

_покоя

=

𝑚 ch θ

-

𝑚

=

𝑚(ch θ-1)

=

=

𝑚

⎛

⎜

⎝

1

√1-β²

-1

⎞

⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

кинетическая энергия

в единицах массы

⎞

⎟

⎠

(85)

Это выражение для релятивистской кинетической энергии справедливо для частиц, движущихся с любыми скоростями. Напротив, ньютоновская формула для кинетической энергии ½𝑚β² верна лишь для медленных частиц.

При возрастании скорости и её стремлении к скорости света энергия возрастает безгранично. Поэтому, если бы мы даже располагали неограниченными энергетическими ресурсами, нам всё равно не удалось бы разогнать частицу до скорости света. Таблица 10 иллюстрирует это быстрое возрастание энергии, необходимой для ускорения частицы по мере приближения её скорости к скорости света.

Таблица 10.

Энергия, которую должен получить атом водорода (

𝑚=1,67⋅10⁻²⁷

кг

) для того, чтобы приобрести скорость, близкую к скорости света

β

Расстояние

,

пройденное световой вспышкой от линии старта при состязании света и частицы за время

,

пока частица не отстанет на 1 см

𝐸_обычн

𝑚𝑐²

𝑇_обычн

𝑚𝑐²

𝑇_обычн

джоули

Обыденный эквивалент этой энергии

0,5

2

см

1,15

0,15

2⋅10⁻¹¹

-

0,99

2

м

7,1

6,1

10⁻⁹

-

0,99999

1

км

222

221

3⋅10⁻⁸

Кинетическая энергия одной крупинки поваренной соли, упавшей с высоты 1 см

0,999

…

99 (13 девяток)

10

¹¹

м

¹

)

2,2⋅10⁶

~2,2⋅10⁶

3⋅10⁻⁴

Кинетическая энергия одной крупной дробинки, упавшей с высоты 1 см

0,9999

…

99 (18 девяток)

10

¹⁶

м

²

)

7,1⋅10⁸

~7,1⋅10⁸

10⁻¹

Кинетическая энергия одной крупной дробинки, упавшей из окна третьего этажа

0,9999

…

999 (28 девяток)

10

²⁶

м

³

)

7,1⋅10¹³

7,1⋅10¹³

10⁴

Кинетическая энергия мотоцикла, движущегося со скоростью 40 км/час

¹) Около ²/₃ расстояния от Солнца до Земли.

²) Около одного светового года.

³) Приблизительное расстояние до самой далёкой сфотографированной в настоящее время галактики.

Рис. 90. 4-вектор энергии-импульса.

Энергию как временну'ю компоненту 4-вектора энергии-импульса или как сторону треугольника на рис. 90, направленную вдоль оси времени, можно вычислить по методам, обычно применяемым для нахождения сторон любого треугольника. В двух основных методах используются пропорциональность и теорема Пифагора. Чтобы найти энергию как функцию скорости, мы пользовались подобием треугольника 𝑚𝐸𝑝 и треугольника 𝑑τ 𝑑𝑡 𝑑𝑥 (см. рис. 87). Из пропорциональности их сторон мы нашли соотношение

𝐸

𝑚

=

𝑑𝑡

𝑑τ

=

1

√1-β²

.

Теперь же нас интересует зависимость энергии от импульса. Чтобы найти её, достаточно проанализировать один лишь треугольник 𝑚𝐸𝑝, но при этом необходимо иметь в виду, что для него справедлива не эвклидова, а лоренцева геометрия. Квадрат гипотенузы определяется тогда не как сумма, а как разность квадратов катетов, так что

𝑚²

=

𝐸²

-

𝑝²

(в единицах массы).

(82)

Масса как абсолютная величина 4-вектора энергии-импульса

Но так определяется квадрат «длины» 4-вектора энергии-импульса ¹). Эта формула совершенно аналогична выражению для квадрата четырёхмерного пространственно-временно'го интервала между соседними мировыми точками на мировой линии частицы

(𝑑τ)²

=

(𝑑𝑡)²

-

(𝑑𝑟)²

.

¹) По ряду причин удобно выражать квадрат абсолютной величины 4-вектора через все четыре компоненты этого вектора, однако при этом следует быть несколько более внимательным, чем при записи квадрата 3-мерного вектора в эвклидовом пространстве. В этой книге, как и в большей части современной литературы, 4-векторы записываются через их компоненты с верхними индексами (контравариантные компоненты): 𝑝^𝑡 = 𝐸 = 𝑚

𝑑𝑡

𝑑τ ,  𝑝^𝑥 = 𝑚

𝑑𝑥

𝑑τ ,  𝑝^𝑦 = 𝑚

𝑑𝑦

𝑑τ ,  𝑝^𝑧 = 𝑚

𝑑𝑧

𝑑τ .

В другом представлении используются нижние индексы (ковариантные компоненты), однако все пространственные компоненты при этом меняют знак: 𝑝_𝑡 = 𝑚

𝑑𝑡

𝑑τ ,  𝑝_𝑥 =- 𝑚

𝑑𝑥

𝑑τ ,  𝑝_𝑦 =- 𝑚

𝑑𝑦

𝑑τ ,  𝑝_𝑧 =- 𝑚

𝑑𝑧

𝑑τ .

Эти два альтернативных представления, использующие контравариантные и ковариантные компоненты (верхние и нижние индексы), применимы не только к 𝑝, но и к другим 4-векторам, например к радиусу-вектору 𝑅, соединяющему начало координат некоторой инерциальной системы отсчета с каким-либо данным событием (мировой точкой), так что 𝑅^𝑡 = 𝑡 ,  𝑅^𝑥 = 𝑥 ,  𝑅^𝑦 = 𝑦 ,  𝑅^𝑧 = 𝑧

и 𝑅_𝑡 = 𝑡 ,  𝑅_𝑥 =- 𝑥 ,  𝑅_𝑦 =- 𝑦 ,  𝑅_𝑧 =- 𝑧 .

В этих обозначениях инвариантный квадрат интервала для события, отделенного от начала временноподобным интервалом, имеет стандартный вид τ² = 𝑅^𝑡𝑅_𝑡 + 𝑅^𝑥𝑅_𝑥 + 𝑅^𝑦𝑅_𝑦 + 𝑅^𝑧𝑅_𝑧 = = 𝑡² - 𝑥² - 𝑦² - 𝑧² .

Если же интервал является пространственноподобным, его квадрат следует записывать как σ² =-( 𝑅^𝑡𝑅_𝑡 + 𝑅^𝑥𝑅_𝑥 + 𝑅^𝑦𝑅_𝑦 + 𝑅^𝑧𝑅_𝑧 )= =- 𝑡² + 𝑥² + 𝑦² + 𝑧² .

4-вектор энергии-импульса является временноподобным 4-вектором по весьма простой причине: ведь две последовательные мировые точки на мировой линии одной и той же частицы разделены временноподобным интервалом. Поэтому квадрат абсолютной величины этого вектора следует вычислять по формуле, аналогичной формуле для τ², т. е.

⎛

⎜

⎜

⎝

Квадрат

абсолютной