.
в) Множитель, характеризующий лоренцево сокращение, равен при этом
1
ch θ
=
𝑚
𝐸
=
0,5 Мэв
40⋅10³ Мэв
=
1,2⋅10⁻⁵
,
так что сократившаяся длина «3000-метровой» трубы при измерении в системе отсчёта ракеты составляет всего
(3⋅10³
м
)⋅1,2⋅10⁻⁵
≈
4⋅10⁻²
м
=
4
см
.
▲
56. Космические лучи
а) Коэффициент, характеризующий замедление времени, определяется формулой (44) из упражнения 10, так что
Δ
𝑡'
=
Δ𝑡
ch θ𝑟
=
Δ
𝑡
𝑚
𝐸
=
Δ
𝑡
⋅
10⁹ эв
10²⁰ эв
,
так что для интервала времени, равного
Δ
𝑡
≈
(10⁵
лет
)
(3⋅10⁷
сек
/
год
)
,
найдём
Δ
𝑡'
=
10⁵⋅3⋅10⁷⋅10⁻¹¹
сек
=
30
сек
.
Пока за свои 30 сек космический путешественник успевает пересечь Галактику, на Земле проходит сто тысячелетий!
б) Коэффициент, характеризующий лоренцево сокращение Галактики, определяется по формуле (38) из упражнения 9 и равен
10⁵ св. лет
10⁻¹⁵ м
=
(10⁵ лет)(3⋅10⁷ сек/год)(3⋅10⁸ м/сек)
10⁻¹⁵ м
=
=
9⋅10²⁰ м
10⁻¹⁵ м
≈
10³⁶
=
ch
θ
𝑟
=
𝑚
𝐸
.
Чтобы протон приобрёл необходимую скорость, ему необходимо придать энергию, равную в единицах массы
𝑇
=
𝐸
-
𝑚
=
10³⁶𝑚
-
𝑚
≈
10³⁶𝑚
≈
≈
10³⁶𝑚
⋅
10³⁶⋅10⁻²⁷
кг
≈
10⁹
кг
,
иначе говоря, потребуется превратить в энергию около одного миллиона тонн массы, чтобы разогнать этот протон! ▲
57. Границы ньютоновской механики
а) Ответ также указан в конце книги!
б) Согласно формуле без номера, находящейся на стр. 155 между формулами (81) и (82), из разложения бинома Ньютона следует разложение по степеням β и для релятивистской энергии:
𝐸
=
𝑚
+
𝑚
β²
2
+
3
8
𝑚β⁴
+
…,
откуда
𝑇
=
𝐸
-
𝑚
=
𝑚
β²
2
+
3
8
𝑚β⁴
+
…
.
Здесь первый член справа — обычное ньютоновское выражение для кинетической энергии. Сравнивая с ним следующий член, найдём, что поправка порядка 10⁻² к ньютоновской механике, рассматриваемая в этом упражнении, будет иметь место при
⎡
⎢
⎣
𝑚β²
+
3
𝑚β⁴
⎤
⎥
⎦
-
𝑚β²
2
8
2
=
10⁻²
,
𝑚β²/2
т.е. когда
β²
=
4
3
⋅
10⁻²
.
Это и есть граница ньютоновской механики; сравните её с другими «границами», найденными в упражнениях 39 и 40 гл. 1. При такой скорости отношение кинетической энергии к энергии покоя равно
𝑚β²
2
⋅
𝑚⁻¹
=
β²
2
=
2
3
⋅
10⁻²
.
В случае протона его кинетическая энергия, соответствующая границе применимости ньютоновской механики, равна
𝑇
𝑝
=
2
3
⋅
10⁻²
𝑚
𝑝
≈
2
3
⋅
10⁻²
Бэв
=
2
3
⋅
10⁻²⋅10⁹
эв
=
2
3
⋅
10⁷
эв
≈
7
Мэв
.
В случае же электрона соответствующая кинетическая энергия равна
𝑇
𝑒
=
2
3
⋅
10⁻²
𝑚
𝑒
≈
2
3
10⁻²⋅10⁶
эв
≈
3
кэв
.
▲
58. Релятивистская ракета
а) Законы сохранения импульса и энергии выражаются как
-
𝑚
sh
θ
выбр
+
𝑀₂sh (𝑑θ)
=
0,
𝑚
ch
θ
выбр
+
𝑀₂ch (𝑑θ)
=
𝑀₁.
Перенесите вторые слагаемые из левых частей обеих формул вправо, разделите соответствующие части получившихся формул друг на друга и учтите соотношения
sh θвыбр
ch θвыбр
=
th
θ
выбр
=
β
выбр
,
sh (𝑑θ)
≈
𝑑θ
,
ch (𝑑θ)
≈
1
.
Вы получите требуемые соотношения.
б) Когда параметр скорости мал, β=θ, так что
𝑣
=
β𝑐
≈
β
выбр
𝑐
ln
𝑀₁
𝑀
=
𝑣
выбр
ln
𝑀₁
𝑀
,
что и требовалось показать.
в) Из закона сохранения энергии легко заключить, что 𝑚+𝑀₂=𝑀₁ так как для того, чтобы получить 𝑀₁, нужно сложить 𝑚 и 𝑀₂, предварительно умноженные на коэффициенты, много большие единицы. Рассматриваемый здесь процесс — это «обращённое неупругое столкновение»: в неупругих столкновениях кинетическая энергия переходит в массу покоя, тогда как здесь, наоборот, масса покоя превращается в кинетическую энергию ракеты и продуктов сгорания топлива.
г) Даже при наибольших допустимых отношениях масс (𝑀₁/𝑀→∞) и при самых высоких скоростях выброса (βвыбр→1) скорость ракеты будет лишь приближаться к скорости счета, но не сможет её превысить:
β
=
th θ
→
1
при
θ
=
β
выбр
ln
𝑀₁
𝑀
→
∞
.
д) Вернёмся к выражению закона сохранения энергии, данному в ответе к части а). При очень большой скорости выброса величина ch θвыбр стремится к бесконечности, и чтобы закон сохранения не нарушался при конечных значениях 𝑀₂ и 𝑀₁, величина массы выбрасываемых продуктов сгорания 𝑚 должна становиться очень малой. Предельный случай достигается для света, когда масса покоя ракетного горючего полностью превращается в энергию излучения.
