е) Ракета, работающая на световых вспышках, не очень практична. Предположим (для грубой оценки), что лампа вместе с батарейкой обладает массой 1/2 кг и излучает пучок света мощностью 5 вт; за полчаса (около 2000 сек) излучённая энергия составит тогда 10⁴ вт⋅сек, или 10⁴ дж. Чтобы найти количество массы, перешедшей при этом в энергию, следует разделить 10⁴ дж на 𝑐² Получается приблизительно 10⁻¹³ кг — неудивительно, что наша лампа с батарейкой не становится заметно легче после работы!

Отношение масс для такой «ракеты» составляет

1

2

кг

×

⎛

⎜

⎝

1

2

кг

-

10⁻¹³

кг

⎞

⎟

⎠

,

или приблизительно 1+2⋅10⁻¹³. Чтобы вычислить скорость, приобретённую при этом первоначально покоившейся лампой [формула (110)], нужно найти натуральный логарифм числа 1+2⋅10⁻¹³; логарифм единицы равен нулю, и вблизи этого значения натуральный логарифм возрастает так же, как и его аргумент. Иными словами, ln(1+δ)≈δ при δ≪1. Отсюда и из формулы (110) следует, что скорость, приобретённая лампой, равна

β

≈

θ

=

ln(1+2⋅10⁻¹³)

≈

2⋅10⁻¹³

или

𝑣

=

𝑐β

=

6⋅10⁻⁵

м

/

сек

.

Быстро бы прогорела та пиротехническая компания, которая выпускала бы ракеты весом по полкило, «летающие» с такой скоростью! Причина того, что лампа способна развить лишь такую ничтожную скорость, выясняется при обсуждении, предложенном в тексте упражнения. Дело в том, что «шлак», остающийся при реакции — использованные батареи,— ускоряется здесь вместе с ракетой. Напротив, химическая ракета практичнее, так как выбрасывает свой шлак через сопло. Существует ряд «бесшлаковых» реакций для элементарных частиц, и в случае исходных частиц с отличными от нуля массами покоя потенциально важны реакции типа

(Частица)

+

(Античастица)

→

Излучение.

В качестве пары частица — античастица здесь могут фигурировать, например, электрон и позитрон или протон и антипротон. Ещё практичнее взять электрически нейтральные вещество и антивещество (атомы антиводорода, антижелеза и пр.) и хранить их в отдельных местах. Однако по развитию техники мы ещё очень далеки от возможности производить такие количества антивещества, которые требовались бы для ускорения ракет путём превращения в излучение частиц и античастиц при их аннигиляции в двигателе ракеты или непосредственно за её кормой. В упражнении 104 рассмотрены трудности, с которыми столкнутся проектировщики межзвёздных полётов, когда удастся преодолеть эту техническую трудность.

ж) Когда коэффициент, характеризующий замедление времени, равен 10, это значит, что ch θ=10. Из «способов быстрой оценки для простых смертных» в табл. 8 можно заключить, что при θ≫1 имеет место ch θ≈𝑒^θ. Если θ=0, то 𝑒^θ≈20, а ch θ≈10, что и требовалось. Если принцип ускорения ракеты основан на полном превращении массы в излучение (без шлака!), то из формулы (110) следует

𝑀₁

=

(Масса при старте)

=

𝑀

⎛

⎜

⎝

Масса после достижения

⎞

⎟

⎠

требуемой скорости

=

𝑒

^θ

≈

20

=

⎛

⎜

⎝

Удвоенный коэффициент

замедления времени

⎞

⎟

⎠

.

В случае химической ракеты достижение этой же скорости (или такой же величины коэффициента замедления времени) обходится намного дороже. Скорость выброса берётся равной

β

_выбр

=

4⋅10³

3⋅10⁸

=

1,33⋅10⁻⁵

,

и для неё из формулы (108) следует

ln

=

Масса при старте

Масса после набора скорости

=

=

θ

β_выбр

=

3

1,33⋅10⁻⁵

=

2,25⋅10⁵

.

Для того чтобы после разгона ракета ещё имела массу 1 т, необходима в этом случае начальная масса

𝑀₁

=

(1

т

)𝑒²²⁵ ⁰⁰⁰

=

10⁹⁷ ⁶⁰⁰

т

.

Хорошенькая ракета, если вспомнить, что масса наблюдаемой Вселенной оценивается по порядку величины в 10⁵⁰ т! ▲

59. Парадокс центра масс

а) В системе отсчёта ракеты пушечные ядра всё время движутся симметрично по отношению к центру трубы, так что центр масс этой системы ядер совпадает с центром трубы и остаётся неподвижным. Пока что никакого парадокса ещё нет.

Рис. 148

б) В лабораторной системе отсчёта выстрелы, посредством которых ядра вводятся в трубу, производятся не одновременно (см. рис. 148, а также упражнение 11). Первое ядро вводится в левый конец трубы ещё до того, как второе ядро вводится в её правый конец, находящийся впереди по ходу движения трубы в лабораторной системе. В этой системе отсчёта скорости ядер различны, так что различны их энергии и импульсы. Как определять теперь положение «центра масс»: считать массы ядер одинаковыми или учитывать такое различие? Ясно, что в приложении к составным системам, отдельные части которых движутся с релятивистскими скоростями, возникает значительная неоднозначность в определении понятия «центр масс». Поэтому вместо того, чтобы характеризовать здесь систему отсчёта ракеты как «систему центра масс», было бы лучше назвать её «системой нулевого импульса»— это было бы более общее утверждение. Если, несмотря на различие их энергий (иногда говорят: «масс движения», см. конец табл. 13), мы придавали бы обеим сталкивающимся массам одинаковое значение, то тем самым ввели бы фактически такое понятие «центра масс», которое во избежание недоразумений было бы лучше называть «центром барионного числа». Иначе говоря, в этом случае значение тела оценивалось бы не по количеству содержащейся в нем энергии, а по числу входящих в него частиц (протонов и нейтронов, являющихся двумя разновидностями барионов, из которых построено обычное вещество). Мировая линия центра барионного числа наших двух ядер изображена на рис. 148 пунктирной линией. Её можно определить, взяв в соответствующие моменты времени положения обоих ядер и найдя для каждого момента точку, лежащую точно посередине. Найденная линия испытывает колебания, и не удаётся усмотреть связи между её видом и законами, управляющими движением ядер. Поэтому понятие центра барионного числа едва ли может быть плодотворным.

В противоположность пунктирной линии штриховая изображает мировую линию центра гравитационного притяжения, оказываемого системой двух ядер на любую далёкую массу (до того момента, когда одно из ядер соударяется с заглушкой в конце трубы). Такое представление о локализации центра гравитационного притяжения подкрепляется двумя соображениями. Во-первых, рассмотрим в системе отсчёта ракеты положение центра масс ядер; там он всё время совпадает с центром трубы в начале координат системы отсчёта ракеты. Переходя к лабораторной системе отсчёта, получим как раз нашу штриховую линию (скорость β_ракеты=th _ракеты)- Во-вторых, найдём скорость переноса энергии (массы) вправо как сумму переносов, осуществляемых каждым ядром по отдельности. Выясним, с какой скоростью должны были бы двигаться эти ядра, если бы они были объединены, чтобы обеспечить такую же скорость переноса энергии (массы) вправо. Мы придём тогда вновь к только что полученной величине β_ракеты как скорости движения центра гравитационного притяжения (т.е. придём к штриховой прямой мировой линии, изображающей движение центра трубы; детали вычисления см. в конце этого анализа).