Всё было бы очень просто и сводилось бы к приведённым рассуждениям, если бы не было самой трубы, а ядра после своего столкновения в мировой точке 𝑃 (где они фактически меняются ролями) навсегда разлетелись бы в противоположные стороны. Тогда, конечно, соответствующий ядрам центр гравитационного притяжения навсегда стал бы двигаться по штриховой линии. Но в тот момент, когда первое ядро ударяется в мировой точке 𝑄 с левой заглушкой трубы, оно изменяет направление своего движения на обратное, и оба ядра с этого момента летят вправо. Значит, на некоторый срок скорость переноса энергии (массы) должна возрасти по сравнению с тем, что было получено ранее. Этот срок кончается в момент, соответствующий событию 𝑅, когда скорость переноса возвращается к своему прежнему значению, так что после 𝑅 вновь можно утверждать, что энергия (масса) объединённой системы ядро 1 + ядро 2 движется вправо со скоростью системы отсчёта ракеты βракеты (штриховая линия, проходящая через мировую точку 𝑆 предстоящего столкновения ядер).
Итак, парадокс состоит в том, что в промежуток времени от 𝑡𝑄 до 𝑡𝑅 должен был бы происходить ускоренный перенос энергии (массы) вправо и следовало бы ожидать, что за это время эффективный центр притяжения системы ядер будет ускоренно сдвигаться вправо, а когда он снова приобретёт свою исходную скорость, следовало бы ожидать, что его мировая линия станет проходить несколько правее прежней штриховой линии. Однако такого сдвига не зафиксировано. Как же совместить ускоренный перенос энергии (массы) вправо с тем фактом, что центр притяжения продолжает двигаться по прежней прямой мировой линии?
Рис. 149.
Чтобы найти ответ, рассмотрим такой пример. Пусть некий бездельник подпирает заднюю стенку надстройки на пароме. Тогда он совершает работу, «двигая» стенку, мощностью 𝐹𝑣, если давит своим плечом на неё с силой 𝐹 и движется со скоростью 𝑣. Но в этом нет его заслуги, так как палуба, расходуя такую же мощность, совершает работу над ним. Иначе говоря, мощность 𝐹𝑣 втекает в него через ноги и такая же мощность вытекает из его плеча. Мощность — скорость переноса энергии, и на релятивистском языке её нужно понимать как скорость переноса энергии и массы. Хотя наш бездельник (вопреки своим принципам) невольно совершает перенос энергии (массы), его центр тяжести движется нисколько не быстрее, чем если бы он стоял по стойке «смирно». Аналогичное происходит и с системой двух ядер: не ограничиваясь переносом вправо энергии (массы) с такой скоростью, что их центр притяжения движется по штриховой линии, ядра испытывают через определённые промежутки времени толчки со стороны левой заглушки трубы и переносят эти импульсы правой заглушке (это аналогично постоянному переносу энергии через нашего бездельника, только теперь сила действует прерывисто). Дополнительный перенос энергии (массы), происходящий при этом, вообще не приводит к дополнительному смещению центра притяжения 1).
1) При соударении с заглушкой в конце трубы каждое ядро обменивается с ней импульсом и приводит её, таким образом, в движение. Даже в системе отсчёта ракеты, где соударения в противоположных концах трубы происходят одновременно, импульсы, переданные трубе, не сразу взаимно уничтожаются ввиду конечной скорости распространения акустической волны: хотя суммарный переданный импульс равен нулю, труба должна сначала некоторое время (симметрично) колебаться, и эти колебания, конечно, переносят энергию. В лабораторной системе отсчёта такая симметрия нарушается в силу относительности одновременности, и для полного анализа переноса энергии (массы) здесь следовало бы учесть поток, распространяющийся по самой трубе. Полезно обратить внимание на то, что «неподвижно закреплённая» труба соответствует бесконечно большой массе по крайней мере заглушек, в противном случае ядра не сохраняли бы абсолютной величины своих импульсов. Но в таком случае можно пренебречь энергией, переносимой акустическими волнами, если рассматривать центр гравитационного притяжения всей системы в целом (правда, при этом было бы логично пренебречь и массами самих ядер!). Читатель видит отсюда, что ситуация, имеющая место между моментами 𝑡𝑄 и 𝑡𝑅, описана авторами неполно; ему было бы полезно обдумать вопрос о том, как изменится задача в случае разных масс заглушек и разной степени жёсткости трубы (в обеих системах отсчёта). Разумеется, анализ следует проводить качественно.— Прим. перев.
в) Центр гравитационного притяжения системы труба + ядра движется вправо с постоянной скоростью βракеты в лабораторной системе отсчёта.
Дополнительные данные к части б)
Обозначим значения скорости и параметра скорости ядер в системе отсчёта ракеты через ±β' и ±θ'. Тогда параметры скорости в лабораторной системе отсчёта будут равны θ𝑟+θ' и θ𝑟-θ'. Скорость переноса энергии (массы) даётся выражением
Импульс
=
𝑚β₁
√1-β₁²
+
𝑚β₂
√1-β₂²
=
=
𝑚(sh θ
𝑟
ch θ'
+
ch θ
𝑟
sh θ')
+
+
𝑚(sh θ
𝑟
ch θ'
-
ch θ
𝑟
sh θ')
=
=
2𝑚
ch θ'sh θ
𝑟
.
Полная величина энергии (массы) в системе отсчёта ракеты равна
𝑚
√1-β₁²
+
𝑚
√1-β₂²
=
2𝑚
ch θ'
.
Разделив её на скорость переноса энергии (массы), найдём sh θ𝑟. Итак, параметр скорости системы ядро 1 + ядро 2 совпадает с параметром скорости ракеты θ𝑟 относительно лабораторной системы отсчёта, что и требовалось доказать. ▲
60. Второй вывод релятивистского выражения для импульса
а) В системе отсчёта ракеты шар 𝐴 движется параллельно направлению оси 𝑦 как до, так и после столкновения (см. рис. 83). Поэтому разности координат в системе ракеты между событиями столкновения шаров и ударом шара 𝐴 о верхнюю стенку равны
Δ
𝑥'
=
0
,
Δ
𝑦'
=
Δ
𝑦
и
Δ
𝑡
.
Из формул (42) следует промежуток времени в лабораторной системе
Δ
𝑡
=
Δ
𝑥'
sh
θ
𝑟
+
Δ
𝑡'
ch
θ
𝑟
=
Δ
𝑡'
ch
θ
𝑟
.
Это выражение позволяет определить 𝑦-компоненту скорости шара 𝐴 в лабораторной системе отсчёта через скорость этого шара в системе отсчёта ракеты β=Δ𝑦'/Δ𝑡':
(β
𝐴
𝑦
)
лаб
=
Δ𝑦
Δ𝑡
=
Δ𝑦'
Δ𝑡' ch θ𝑟
=
β
ch θ𝑟
.
б) Сравнивая рис. 83 и 84, видим, что скорость шара 𝐴 в системе отсчёта ракеты равна скорости шара 𝐵 в лабораторной системе отсчёта. Вертикальная компонента скорости шара 𝐴 в лабораторной системе была найдена в части а) этого упражнения. Горизонтальная же компонента скорости шара 𝐴 в лабораторной системе — это просто скорость движения этой системы относительно системы отсчёта ракеты, β𝑟. Подставляя значения компонент скорости и импульса, данные на рис. 101, в закон пропорциональности, выведенный на основании этого же рисунка (см. текст данного упражнения), получим соотношение
