𝑝𝑥
2𝑚β
=
th θ𝑟
2β/ch θ𝑟
(равенство этих отношений означает, что векторы импульса и скорости имеют одинаковое направление). Отсюда и следует формула
𝑝
𝑥
=
𝑚
sh
θ
𝑟
.
▲
61. Второй вывод релятивистского выражения для энергии
а) На основании двух частей рис. 102 можно непосредственно записать закон сохранения импульса в ньютоновском пределе. Из верхней киноленты, снятой в лаборатории, следует закон сохранения в лабораторной системе отсчёта. Когда же на основании нижней киноленты рис. 102, снятой из ракеты, записывается закон сохранения импульса в этой системе, то стоящая в обеих частях уравнения скорость относительного движения систем β𝑟 уничтожается, и остаётся в точности уравнение, уже полученное в лабораторной системе отсчёта. Итак, в системе отсчёта ракеты импульс автоматически сохраняется, если он сохранялся в лабораторной системе; но это верно лишь для столкновений с малыми скоростями.
б) Переходя к релятивистскому анализу, заметим, что в системе отсчёта ракеты (нижняя кинолента на рис. 103) закон сохранения импульса принимает вид
𝑚₁
sh
(θ₁-θ
𝑟
)
+
𝑚₂
sh
(θ₂-θ
𝑟
)
=
=
𝑚₁
sh
(
θ
₁-θ
𝑟
)
+
𝑚₂
sh
(
θ
₂-θ
𝑟
)
.
Воспользовавшись формулой (11) из правого столбца табл. 8, преобразуем здесь каждое из четырёх слагаемых так, чтобы получилось соотношение вида (112). У нас появятся две скобки: первая
(
𝑚₁
sh
θ₁
+
𝑚₂
sh
θ₂
-
𝑚₁
sh
θ
₁
-
𝑚₂
sh
θ
₂
)
и вторая
(
𝑚₁
ch
θ₁
+
𝑚₂
ch
θ₂
-
𝑚₁
ch
θ
₁
-
𝑚₂
ch
θ
₂
)
Каждая из них должна самостоятельно обращаться в нуль, что следует из условия задачи. Значит, должны выполняться уравнения (111) и (113). Короче говоря, чтобы импульс сохранялся в системе отсчёта ракеты, недостаточно его сохранения в лабораторной системе отсчёта, как это было в предельном случае малых скоростей (в ньютоновской механике), но необходимо ещё, чтобы в лабораторной системе сохранялась и энергия, что выражается уравнением (113).
в) Ход приведённых рассуждений в основном останется без изменения, если массы покоя разлетающихся частиц отличаются от масс частиц до соударения. При этом закон сохранения импульса в лабораторной системе отсчёта принимает вид
𝑚₁
sh
θ₁
+
𝑚₂
sh
θ₂
=
𝑚
₁
sh
θ
₁
+
𝑚
₂
sh
θ
₂
,
а закон сохранения энергии (тоже в лабораторной системе) —
𝑚₁
ch
θ₁
+
𝑚₂
ch
θ₂
=
𝑚
₁
ch
θ
₁
+
𝑚
₂
ch
θ
₂
,
Импульс будет сохраняться и в системе отсчёта ракеты, только если выполняются оба эти закона сохранения одновременно.
Что же касается сохранения кинетической энергии, то заметим, что, вычитая в случае упругого столкновения из соответствующих сторон уравнения (113) тождество 𝑚₁+𝑚₂≡𝑚₁+𝑚₂, получим
(𝑚₁ch
θ₁-𝑚₁)
+
(𝑚₂ch
θ₂-𝑚₂)
=
(𝑚₁ch
θ
₁-𝑚₁)
+
(𝑚₂ch
θ
₂-𝑚₂)
,
𝑇₁
+
𝑇₂
=
𝑇
₁
+
𝑇
₂.
Это и есть выражение того факта, что при упругих столкновениях кинетическая энергия сохраняется. В случае неупругих столкновений, когда 𝑚₁≠𝑚₁ и 𝑚₂≠𝑚₂, сохранения кинетической энергии нет и подобного уравнения записать нельзя. Особый интерес представляют неупругие столкновения без излучения, но с переходом части кинетической энергии в массу покоя: 𝑚₁+𝑚₂>𝑚₁+𝑚₂. ▲
62. Задачи на пересчёт
а) 100 вт — это 100 дж/сек, а так как в году около 30 миллионов секунд, то 100-ваттная лампочка излучает в год энергию, равную 3⋅10⁹ дж. Это соответствует массе покоя, равной (3⋅10⁹ дж)/𝑐²=¹/₃⋅10⁻⁷ кг.
б) 10¹² квт⋅ч= 10¹⁵ вт⋅ч= 10¹⁵⋅3600 вт⋅сек= 3,6⋅10¹⁸ дж. Это соответствует массе покоя (3,6⋅10¹⁸ дж)/𝑐²=40 кг. В действительности же в энергию при этом превращается более 40 кг массы, так как производство электроэнергии неизбежно сопровождается тепловыми потерями (часть массы «уходит» в тепло): так, теряется часть теплоты при использовании химической энергии (при сжигании угля), теряется теплота, возникающая в результате трения из механической энергии (в генераторах гидростанций). Конечно, оценка зависит от того, в каких масштабах рассматривать, например, струи газов, извергаемые трубами тепловой электростанции, работающей на угле. На микроскопическом уровне можно провести деление на массу покоя отдельных молекул и на кинетическую энергию их теплового движения. Напротив, в крупных масштабах получится, что эти горячие газы имеют массу покоя, превышающую сумму масс покоя отдельных составляющих их молекул (см. замечания по поводу «ящика с нагретым газом» на стр. 176). Конечно, та же участь ожидает и большую часть благополучно генерированной «полезной» электроэнергии, ведь её поглотят и превратят в теплоту стены освещённой с её помощью комнаты и т.д. и т.п. Так часть массы покоя угля превращается в электроэнергию, а потом —снова в массу покоя там, где эта энергия потребляется. И за целый год не найти ни одного момента, когда хоть сколько-нибудь заметная часть этих 40 кг энергии существовала в форме электроэнергии.
в) Студент производит энергию со скоростью (мощностью) в 2 лошадиные силы (л. с.): 1/2 л. с. полезной мощности + 3⋅½ л. с. превращается в теплоту (2 л. с. ≈ 1500 вт). Срок, необходимый для того, чтобы превратить 1 кг массы в энергию, можно найти по формуле
1500
вт
⋅𝑡
сек
=
1
кг
⋅𝑐²
,
откуда получается 𝑡сек=6⋅10¹⁴ сек — больше десяти миллионов лет! Конечно, чтобы похудеть на 1 кг, никому не потребуется так долго крутить педали— химические процессы «горения» в организме чрезвычайно расточительны (коэффициент перевода массы в энергию невероятно мал), и удаление продуктов сгорания приводит к намного более быстрой потере массы, чем если бы она превращалась в энергию.
