47. Искривление лучей света звёзд Солнцем
Путь, равный диаметру Солнца, световой сигнал проходит за время, равное 1,4⋅10⁹ м, или 4,7 сек; это и есть «эффективное время падения» светового луча, проходящего вплотную к поверхности Солнца. Полная скорость падения равна этому времени, умноженному на ускорение силы тяжести у поверхности Солнца (275 м/сек²), так что составляет приблизительно 1300 м/сек, или 4,3⋅10⁻⁶ м пути за 1 м светового времени. Угол отклонения луча, если он малый, можно приблизительно определить как отношение полученной скорости падения к полной скорости света, т.е. к единице. Итак, мы предсказали, что угол, на который отклоняется световой луч, равен 4,3⋅10⁻⁶ рад. Общая теория относительности предсказывает вдвое больший эффект, что хорошо согласуется с данными наблюдений, приведёнными в конце упражнения. ▲
48. Геометрическое истолкование
Упражнение построено так, что каждый шаг рассуждения мал, и читатель постепенно подводится к решению; поэтому едва ли было бы целесообразно давать здесь более детальный анализ. Но в последней части упражнения [часть к)] полезно отметить, что степень рассинхронизированности часов лабораторной системы отсчёта и часов системы ракеты определяется величиной sh θ𝑟 [см. формулу (46)], которая меняет свой знак при изменении знака относительной скорости (а тем самым и параметра относительной скорости). Напротив, степень замедления времени определяется величиной sh θ𝑟 [см. формулу (44)], не меняющей знака при изменении знака скорости. ▲
49. Парадокс часов. II — подробный пример
Решение дано в тексте.
50. Сокращение или поворот?
а) Свет, который приходит в наш глаз в данный момент, происходит от двух событий, по-разному удалённых от глаза. Поэтому события должны были произойти в разные моменты времени, и это — главное. В данном случае свет должен был выйти из точки 𝐸 на 1 м времени раньше, чем из точки 𝐺, чтобы оба луча одновременно достигли наблюдателя. За этот срок куб, покоящийся в системе отсчёта ракеты, пройдёт относительно наблюдателя путь 𝑥, равный произведению β на 1 м.
б) Интересно, что, наблюдая в этих условиях маленькие объекты одним глазом, можно истолковать увиденное как поворот пролетающего мимо объекта. Так, например, если бы куб был повёрнут, как на рис. 74, можно было бы видеть часть его боковой стороны и укороченную нижнюю, т.е. получился бы тот же эффект, который в предыдущем случае теория относительности объясняла соответственно конечностью скорости распространения света и лоренцевым сокращением. Из рисунка видно, что угол φ такого кажущегося поворота даётся выражением
sin φ
=
β
.
В пределе при β→0 угол кажущегося поворота также стремится к нулю, и получается результат наблюдения, следующий из теории Ньютона. В пределе при β→1 объект представляется повернувшимся на 90° — вам кажется, что он летит, повернувшись к вам своей боковой стороной!
в) Ответы разным наблюдателям:
1) Наблюдателю в системе отсчёта ракеты: «Когда объект покоится в данной системе отсчёта, метод, с помощью которого вы его наблюдаете, не играет роли, так как разное время распространения света от разных частей объекта не приводит к искажению наблюдаемой картины».
2) Наблюдателю, использующему часовую сетку лабораторной системы: «Ваша система часов позволяет вам определять, в какое время происходят далёкие друг от друга события, и корректно фиксировать их одновременность. Однако эта точная бухгалтерия всё же не даёт вам исключительных прав решать, что же произошло «на самом деле», и навешивать ярлык «невсамделишного» на результаты, полученные наблюдателем в системе отсчёта ракеты или сильно удалённым зрителем, проводящим визуальные наблюдения».
3) Зрителю, визуально проводящему наблюдения в лабораторной системе отсчёта: «Если вы понимаете, к чему приводит задержка во времени прихода сигналов от разных точек объекта, то вам должно быть ясно, что зрительное впечатление поворота объекта никак не противоречит результатам наблюдений, проведённых любым из ваших коллег».
Выражение «на самом деле» здесь не может иметь единого значения, независимого от системы отсчёта наблюдателя и от его измерительной методики. Все методы измерения «правильные», но одни оказываются полезнее других, так как дают основу для интуиции и позволяют предсказать результаты того или иного конкретного опыта. ▲
51. Парадокс часов. III
Из этого упражнения уже чуть было не получился «подробный пример»!
а) Если бы была правильной ньютонова механика, то, подвергаясь в течение 10 лет ускорению 1𝑔, вы приобрели бы в конце концов скорость, равную
𝑣
=
𝑎𝑡
=
𝑔𝑡
≈
(10
м
/
сек
²)
(10⋅3⋅10⁷
сек
)
=
=
3⋅10⁹
м
/
сек
,
т.е. вдесятеро превышающую скорость света! Альтернатива этому противоречащему физическим законам выводу дана в тексте упражнения.
б) Решение дано в тексте.
в) Уравнение (66) проще всего проверить, продифференцировав его и сравнив результат с предыдущим уравнением. Продифференцировать гиперболический косинус проще всего, представив его через экспоненты, а результат дифференцирования выразив снова через гиперболическую функцию — на этот раз синус (см. табл. 8).
г) Проделав в уравнении (66) предложенные подстановки, получим
𝑥
=
𝑐²
𝑔
⎡
⎢
⎣
ch
⎛
⎜
⎝
𝑔τсек
𝑐
⎞
⎟
⎠
-1
⎤
⎥
⎦
.
Здесь следует взять в качестве 𝑔≈10 м/сек² и вспомнить, что 10 лет — это приблизительно 3⋅10⁸ сек. Воспользовавшись приближёнными формулами из табл. 8, найдём
𝑥
≈
9⋅10¹⁶
10
⎡
⎢
⎣
ch
⎛
⎜
⎝
10⋅3⋅10⁸
3⋅10⁸
⎞
⎟
⎠
-1
⎤
⎥
⎦
≈
9⋅10¹⁵
𝑒¹⁰
2
м
≈
≈
10²⁰
м
≈
10⁴
световых лет.
Такое расстояние покрывается за время действия двигателя 𝐴 если же его удвоить, то мы получим расстояние до самой дальней точки пути — 20 000 световых лет. ▲
52. Наклонный стержень
Решение этого упражнения основывается на относительности одновременности (см. упражнение 11). В лабораторной системе отсчёта все точки стержня пересекают ось 𝑥 одновременно при 𝑡=0. Но картина, наблюдаемая в системе отсчёта ракеты, будет другой! Когда в лабораторной системе 𝑡=0, часы системы отсчёта ракеты будут показывать на положительной части оси 𝑥' моменты времени, меньшие нуля [часть в) упражнения 11]. Это значит, что к моменту 𝑡'=0 по часам системы отсчёта ракеты правый конец стержня уже пересечёт ось 𝑥. Но середина стержня проходит через начало координат ракеты в момент 𝑡'=0, так что в системе отсчёта ракеты метровый стержень будет наблюдаться несколько повёрнутым правым концом вверх (см. рис. 77б). Перейдём к количественному выражению эффекта. В лабораторной системе отсчёта правый конец стержня пересекает ось 𝑥 в момент 𝑡=0 и в точке 𝑥=1/2 м. Координаты того же события в системе отсчёта ракеты следуют из формул преобразования Лоренца:
