²) Louis de Broglie, Comptes Rendus (Paris), 177, 507 (1923).

𝑟𝑝

_обычн

=

𝑛ℎ

2π

=

𝑚ℏ

(

𝑛=1, 2, 3,

)

,

(125)

где 𝑝_обычн — величина импульса электрона в обычных единицах. Какая величина момента импульса электрона, находящегося на такой орбите, следует из соотношения (125)? В пределе малых скоростей ньютоновская механика говорит, что радиус орбиты даётся соотношением

𝑟

=

(4πε₀)𝑛²ℎ²

4π²𝑍𝑒²𝑚

(126а)

(𝑒 в кулонах, 4πε₀=1,113⋅10⁻¹⁰ (кулон⋅сек)²/кг⋅м³; ℎ, 𝑚 и 𝑝 в системе СИ — кг, м, сек), или

𝑟

=

𝑛²ℏ²

𝑍𝑒²𝑚

(126б)

(𝑒 в CGSE; ℏ, 𝑚 и 𝑟 в системе CGS — г, см, сек), где 𝑍 — атомный номер ядра (число протонов в нем), 𝑚 — масса и 𝑒 — заряд электрона. Это формула радиуса орбит атома Бора. Покажите, что скорость электрона на орбите равна (в приближении малых скоростей)

β

=

α𝑍

𝑛

,

(127)

где

α

=

𝑒²

=

1

(4πε₀)

ℎ

⋅

𝑐

137

2π

— безразмерная постоянная, называемая постоянной тонкой структуры. [Эта формула верна, когда 𝑒 выражается в кулонах, 4πε₀=1,113⋅10⁻¹⁰ (кулон⋅сек)²/кг⋅м³, ℎ и 𝑐 — в кг, м, сек. Если её выразить в системе г, см, сек, причём 𝑒 взять в единицах CGSE, то α=𝑒²/ℏ𝑐=1/137). Полученное выражение для β использовалось в упражнении 41. ▼

102*. Ви'дение посредством электронов

Из общих принципов физической оптики следует невозможность получить изображение таких деталей объекта, которые меньше длины волны света, с помощью которого получают это изображение. Предположим, что это утверждение верно и в применении к волнам вещества, обсуждавшимся в предыдущем упражнении. Через какую разность потенциалов должны быть пропущены (ускорены) электроны, чтобы с их помощью было можно получить изображение бактерии (размером около 1 мк, т.е. 10⁻⁶ м) в электронном микроскопе? Какой энергией (в Мэв) должны обладать электроны, чтобы с их помощью можно было исследовать структуру протонов и нейтронов (диаметр которых равен около 1 ферми, т.е. 10⁻¹⁵ м)? ▼

103**. Прецессия Томаса

Рис. 126. Ньютоновская механика утверждает, что при обороте электрона вокруг ядра ориентация его спина не изменится.

Представьте себе электрон как отрицательно заряженный шарик, вращающийся вокруг своей оси, подобно гироскопу. Эта грубая классическая модель не соответствует действительности, но приемлема для некоторых целей, например для следующей. Ньютоновская механика предсказывает, что электрон в атоме должен вращаться по некоторой орбите вокруг ядра и сохранять при этом неизменным направление оси своего вращения относительно инерциальных систем отсчёта точно так же, как это происходит с гироскопом, перемещаемым по окружности.

Рис. 127. Теория относительности предсказывает прецессию оси вращения электрона на угол, обозначенный здесь через Δφ, за один оборот вокруг ядра.

Однако, как открыл в 1927 г. Л. X. Томас ¹), теория относительности удивительным образом утверждает, что если электрон вращается вокруг ядра, вектор его спина направлен по-разному после каждого оборота. Такая прецессия, названная прецессией Томаса, приводит к наблюдаемому эффекту в спектральных линиях излучения некоторых атомов. Объяснение этой прецессии связано с эффектом наклонного метрового стержня (упражнение 52) и основывается на относительности одновременности. Проанализируйте эффект прецессии Томаса для электрона по следующей схеме (или другим способом).

¹) L. H. Thomas, Philosophical Magazine, (7) 3, 1 (1927).

Рис. 128. Правильный многоугольник как приближённое описание ньютоновской круговой орбиты электрона в атоме.

Что заставляет ось вращения электрона принимать новое направление после того, как электрон опишет полный круг? Двигаясь по окружности, электрон испытывает ускорение, направленное к её центру. Но, к сожалению, частная теория относительности неспособна описывать действие ускорения на ориентацию векторов. Поэтому мы поступим так, как это часто делается в физике: если данная проблема не поддаётся непосредственному решению, следует найти более простую, но аналогичную ей задачу, решить которую мы сумеем! В данном случае приближённо представим круговой путь классического электрона как правильный многоугольник с 𝑛 сторонами. Для того чтобы совершить один полный оборот по орбите, электрон должен пройти теперь по ряду прямолинейных отрезков, испытав между ними 𝑛 резких изменений направления движения, каждый раз на угол α=2π/𝑛. План штурма задачи: исследовать, как изменится направление спина электрона при прохождении одного из таких углов [пункты от (а) до (в)]; затем устремить число сторон 𝑛 к бесконечности так, чтобы угол α, на который всякий раз меняется направление движения электрона, стремился к нулю, пока не получится в качестве предельного случая классическая круговая орбита [пункты от (г) до (д)].

Рис. 129. Частный случай изменения ориентации оси вращения электрона при изменении направления его движения.

а) На рис. 129 электрон изображён до (𝐴) и после (𝐵) того, как он изменил направление своего движения на угол α. Жирная черта, пересекающая в каждом случае электрон,— проекция направления спина на плоскость орбиты (плоскость 𝑥𝑦). На рисунке представлен тот частный случай, когда эта проекция была направлена вдоль оси 𝑥 до изменения электроном его направления движения. Когда же произошло это изменение направления движения электрона как целого, ориентация спина должна была также измениться на некоторый малый угол 𝑑φ, и это изменение нельзя понять в рамках механики Ньютона! Чем оно вызвано? Его причиной является относительность одновременности.

Рис. 130. Заменим одиночный электрон, огибающий угол, двумя электронами, 𝐴 и 𝐵, движущимися по пересекающим прямым путям. Потребуем, чтобы ориентация спина у 𝐴 и у 𝐵 была одинаковой в системе отсчёта, где 𝐴 покоится.

Огибая угол, электрон испытывает сильное и резкое ускорение. К счастью, мы можем анализировать по отдельности шарики 𝐴 и 𝐵, движущиеся с одинаковыми по модулю скоростями в направлениях, образующих в лабораторной системе отсчёта угол α, как это изображено на рис. 130. Ни один из этих шариков пусть не ускоряется, но в момент их встречи наблюдатели, движущиеся вместе с ними, могут зарегистрировать одинаковое направление осей вращения шариков 𝐴 и 𝐵. Рисунок в системе отсчёта ракеты изображает относительную ориентацию спинов в той системе отсчёта, где шарик 𝐴 покоится. Именно в этой системе отсчёта ракеты наблюдатель на 𝐴 производит сравнение ориентаций векторов спина. (Вопрос: какой наблюдатель проводит сравнение — 𝐴 или 𝐵? В том случае, когда угол α весьма мал, наблюдатель 𝐴 и наблюдатель 𝐵 будут почти покоиться друг относительно друга, так что в пределе всё равно, кто из них производит сравнение!) Так как мы заменяем одиночный шарик, огибающий угол, двумя шариками 𝐴 и 𝐵, мы требуем, чтобы в системе отсчёта ракеты проекции спина для 𝐴 и для 𝐵 были взаимно параллельны. Главное здесь в том, что хотя эти проекции и параллельны в системе отсчёта ракеты, они не параллельны в лабораторной системе отсчёта. В результате направление вектора спина электрона изменяется, когда электрон огибает угол, при наблюдении в лабораторной системе отсчёта.