Рис. 131. Исследование ориентации оси вращения шарика 𝐵 в лабораторной системе отсчёта и в системе отсчёта ракеты; схема начерчена для того, чтобы получить ответы на вопросы: где и когда точка 𝑄 пересекает ось 𝑥? Где вследствие этого расположена точка 𝑄 в момент времени 𝑡=0 в лабораторной системе отсчёта?

На рис. 131 в крупном масштабе изображён шарик 𝐵. Обозначим, согласно этой схеме, концы проекции спиновой оси через 𝑃 и 𝑄. Выберем начала координат в лабораторной системе отсчёта и в системе отсчёта ракеты так, чтобы в момент 𝑡=𝑡'=0 эти начала совпадали с точкой 𝑃. Тогда в системе отсчёта ракеты точка 𝑄 пересечёт ось 𝑥 в этот же момент 𝑡'=𝑡_𝑄'=0. Но в лабораторной системе отсчёта это будет не так! На рис. 131 показан электрон 𝐵 в момент времени 𝑡=0 в лабораторной системе отсчёта. Пусть 𝑥_𝑄 и 𝑡_𝑄 будут соответственно другой точкой и более поздним моментом времени в лабораторной системе отсчёта, при которых точка 𝑄 пересекает ось 𝑥. Пользуясь формулами преобразования Лоренца и полагая 𝑡_𝑄=0, покажите, что

𝑥

_𝑄

=

𝑥

_𝑄

'

ch θ

_𝑟

,

𝑡

_𝑄

=

𝑡

_𝑄

'

sh θ

_𝑟

.

(128)

Вопрос: где находилась точка 𝑄 в момент времени 𝑡=0 в лабораторной системе отсчёта? К моменту 𝑡_𝑄 точка 𝑄 прошла расстояние β_𝑟 𝑡_𝑄, как это показано на рисунке. Покажите, исходя из него, что за это время координаты 𝑥 и 𝑦 точки 𝑄 изменились на величины

Δ

𝑥

=

β

_𝑟

 𝑡

_𝑄

cos α

=

β

_𝑟

 𝑥

_𝑄

'

sh θ

_𝑟

cos α

,

Δ

𝑦

=

β

_𝑟

 𝑡

_𝑄

sin α

=

β

_𝑟

 𝑥

_𝑄

'

sh θ

_𝑟

sin α

,

(129)

где на последнем этапе были использованы соотношения (128). Это значит, что в момент 𝑡=0 лабораторной системы отсчёта точка 𝑃 была (по определению) в начале координат, а точка 𝑄 имела координаты 𝑥_𝑄-Δ𝑥 и -Δ𝑦. Поэтому угол наклона 𝑑φ отрезка 𝑃𝑄 к горизонтали, найденный в лабораторной системе отсчёта в момент 𝑡=0, т.е. изменение ориентации вектора спина после того, как электрон обогнул угол, даётся выражением

tg 𝑑φ

=

-Δ𝑦

𝑥_𝑄-Δ𝑥

.

(130)

Подставляя сюда 𝑥_𝑄, Δ𝑥 и Δ𝑦 из соотношений (128) и (129) и производя упрощения, найдём

tg 𝑑φ

=

-β_𝑟²sin α

1-β_𝑟²cos α

.

В атоме β_𝑟≤𝑍/137 (см. упражнение 101), так что при малых 𝑍 β_𝑟≪1. Поэтому

tg 𝑑φ

≈

𝑑φ

≈

-β

_𝑟

²sin α

.

Это и есть тот угол, на который спиновая ось электрона поворачивается при огибании электроном угла α в том частном случае, когда проекция этой оси на плоскость орбиты электрона направлена первоначально вдоль его движения.

Рис. 132. Частный случай, когда электрон не изменяет ориентации своей оси при изменении направления движения.

б) Возьмём другой частный случай, на этот раз когда проекция оси вращения параллельна оси 𝑥 (𝑥𝑦 — плоскость орбиты). Покажите, что теперь наблюдатели в лабораторной системе отсчёта и в системе отсчёта ракеты будут согласны между собой в том, что точки 𝑃 и 𝑄 пересекают ось 𝑦 одновременно. Поэтому в данном случае при огибании электроном угла в лабораторной системе отсчёта будет отсутствовать поворот оси вращения электрона.

Рис. 133. Общий случай изменения ориентации оси вращения электрона, когда последний меняет направление своего движения.

в) В процессе движения электрона по орбите проекция его оси вращения на плоскость 𝑥𝑦 (рис. 127) будет иногда параллельна направлению его движения (случай (а)), а иногда — перпендикулярна этому направлению (случай (б)). В общем случае она будет составлять некоторый угол φ с направлением движения электрона, меняющийся на 𝑑φ, когда электрон огибает угол. Чему может быть равна величина этого изменения, 𝑑φ? При φ=0 [случай (а)] 𝑑φ=-β_𝑟²sin α; при φ=90° [случай (б)] 𝑑φ=0. В общем случае изменение должно лежать между нулём и -β_𝑟²sin α. Исходя из рис. 133, проведём следующие рассуждения, чтобы показать, что при малых α и β_𝑟² искомое изменение равно -β_𝑟²sin α cos²φ. Дополним первоначальную линию 𝑃𝑄 её горизонтальной и вертикальной составляющими 𝑃𝑅 и 𝑄𝑅. Из пунктов (а) и (б) мы знаем, что вертикальный отрезок 𝑄𝑅 не подвергнется повороту, когда электрон обогнёт угол, тогда как горизонтальный отрезок 𝑃𝑅 повернётся по часовой стрелке на угол β_𝑟²sin α. Покажите, что при малых углах α это приводит к неизменности 𝑥-компоненты 𝑃𝑄 и уменьшению 𝑦-компоненты на величину (𝐿 cos φ)⋅(β_𝑟²sin α). Поэтому тангенс нового угла φ+𝑑φ равен

tg(φ+𝑑φ)

≈

𝐿 sin φ-(𝐿 cos φ)(β_𝑟²sin α)

𝐿 cos φ

=

=

tg φ

-

β

_𝑟

²sin α

.

(131)

Требуется найти tg 𝑑φ≈𝑑φ; согласно табл. 8,

tg 𝑑φ

=

tg[(φ+𝑑φ)-φ]

=

tg(φ+𝑑φ)-tg φ

1+tg(φ+𝑑φ)⋅tg φ

.

Используя равенство (131), получим

tg 𝑑φ

=

tg φ-β_𝑟²sin α-tg φ

1+(tg φ-β_𝑟²sin α) tg φ

=

=

-β_𝑟²sin α

1+tg²φ-β_𝑟²sin α tg φ

.

При очень малых α можно пренебречь последним слагаемым в знаменателе, где останется тогда сумма

1+tg²φ

=

1+

sin²φ

cos²φ

=

cos²φ+sin²φ

cos²φ

=

1

cos²φ

,

так что

tg 𝑑φ

≈

𝑑φ

=-

β

_𝑟

²sin α

cos²φ

.

(132)

Это и есть тот угол, на который поворачивается (прецессирует) ось вращения электрона, когда последний огибает угол, изменяя направление своего движения на α, в общем случае ориентации проекции этой оси вращения на плоскость орбиты под углом φ к направлению движения электрона.

г) Из уравнения (132) видно, на какой угол 𝑑φ поворачивается вектор спина электрона, когда электрон изменяет направление своего движения на α, один раз огибая угол. Чему будет тогда равен полный угол прецессии Δφ при обходе электроном всей замкнутой орбиты? (См. рис. 127 и 128). В замкнутой орбите содержится 𝑛 поворотов, каждый из которых происходит на угол α=2π/𝑛. При больших 𝑛 (малых α) sin α≈α так что полный угол прецессии спина при одном обороте электрона вокруг ядра составляет