Таблица 13.

Учёт известных и неизвестных величин, 𝙷²+𝙷²→𝙷¹+𝙷³ характеризующих реакцию

Комментарий.

Как и в тексте, здесь принято, что отсутствуют масс-спектрографические данные о массе 𝙷³ в тот момент, когда эта масса определяется из баланса импульса и энергии в данной реакции. В таблице измеряемые величины обозначены через «ДА», те же, которые не измерены,— через «НЕТ».

Каждая из четырёх частиц характеризуется пятью символами (четыре компоненты энергии-импульса и масса покоя), так что в целом мы имеем 20 величин. Из них известны 10 (помеченные в таблице через «ДА») и 10 неизвестны. Для определения этих десяти неизвестных мы имеем ровно десять уравнений. Поэтому не удивительно, что информацию, содержащуюся в этих 10 уравнениях, можно скомбинировать таким образом, что получается одно уравнение (99), выражающее искомую массу ядра трития через измеряемые величины.

𝐸=𝑝^𝑡 𝑝^𝑥 𝑝^𝑦 𝑝^𝑧 Инвариантная абсолютная величина 4-вектора

Реагенты (все компоненты 4-вектора энергии-импульса проставить в таблице с положительным знаком) 𝙷² (мишень) НЕТ (измеряется 𝑚₂, а не не посредственно 𝐸₂) ДА (нуль!) ДА (нуль) ДА (нуль)

𝑚₂ - ДА, ур. (100) (спектрометр) 𝙷² (быстрый) НЕТ (измеряется 𝐾𝐸, см. ниже) НЕТ ДА (нуль) ДА (нуль)

𝑚₂*=𝑚₂ - ДА (спектрометр)

Продукты реакции (все компоненты проставить в таблице с обратным знаком) 𝙷¹ (измерено) НЕТ (измеряется 𝐾𝐸, см. ниже) ДА (нуль) НЕТ ДА (нуль)

𝑚₁ - ДА, ур. (101) (спектрометр) 𝙷³ (не измерено) НЕТ НЕТ НЕТ НЕТ

𝑚₃ - «НЕТ»,ур. (105) (требуется найти)

Сумма, дающая изменение полного 4-вектора энергии-импульса системы, должна быть нулю, чтобы 4-векторы образовали замкнутый четырехугольник («закон сохранения») 0 ур. (94) 0 ур. (95) 0 ур. (96) 0 ур. (97) ПОЛУЧАЮТСЯ ЧЕТЫРЕ УРАВНЕНИЯ

Дополнительная информация. ПОЛУЧАЕТСЯ ЕЩЁ ШЕСТЬ УРАВНЕНИЙ:

𝐸₂*-𝑚₂*=1,808 Мэв (кинетическая энергия налетающего дейтрона), уравнение (102).

𝐸₂-𝑚₂=0 (кинетическая энергия дейтрона-мишени, принимаемого покоящимся).

𝐸₁-𝑚₁=3,467 Мэв (кинетическая энергия полученного протона), уравнение (103).

𝐸₃²-𝑝₃²=𝑚₃² (4-вектор энергии-импульса полученного ядра трития), уравнение (98).

𝐸₁²-𝑝₁²=𝑚₁² (4-вектор энергии-импульса энергии-импульса полученного протона).

(𝐸₂*)² - (𝑝₂*)² = (𝑚₂*)² = 𝑚₂² (4-вектор энергии-импульса налетающего дейтрона).

«Масса покоя может быть превращена в энергию, а энергия может быть превращена в массу покоя»,— так можно не совсем точно подытожить некоторые следствия двух фундаментальных и уже строгих принципов: 1) полный 4-вектор энергии-импульса системы не изменяется в ходе реакции и 2) инвариантная абсолютная величина 4-вектора энергии-импульса любой данной частицы равна массе покоя этой частицы. Какую разумную информацию о физических законах можно извлечь из этих основных принципов? К каким затруднениям приводит иногда использование слишком нестрогой формулировки «принципа эквивалентности массы и энергии»? Некоторые ответы на эти вопросы даны в табл. 14.

Таблица 14.

Плюсы и минусы понятия массы

❔

Одинакова ли величина массы покоя во всех инерциальных системах отсчёта?

✔

Да. В одной системе отсчёта она выражается через энергию 𝐸 и импульс 𝑝 как 𝑚²=𝐸²-𝑝², а в другой системе — как 𝑚²=(𝐸')²-(𝑝')². Поэтому масса покоя является инвариантом

❔

Одинакова ли величина энергии во всех инерциальных системах отсчёта?

✔

Нет. Энергия выражается как 𝐸=√𝑚²+𝑝² либо как 𝐸=𝑚 ch θ=𝑚/√1-β², либо как 𝐸= (Масса покоя) + (Кинетическая энергия) = 𝑚+𝑇, и её величина зависит от выбора системы отсчёта, в которой рассматривается частица (или система частиц). Эта величина минимальна в той системе отсчёта, где импульс частицы (системы частиц) равен нулю (в случае системы частиц равен нулю полный импульс). Лишь в этой системе отсчёта энергия равна массе покоя

❔

Равна ли нулю энергия объекта с нулевой массой покоя? (Фотон: квант света, рентгеновские лучи, гамма-излучение).

✔

Нет. Энергия равна тогда 𝐸=√0²+𝑝²=𝑝 (в обычных единицах 𝐸_обычн=𝑐𝑝_обычн). Формально можно сказать иначе, что вся энергия представлена в виде кинетической энергии (в этом специальном случае нулевой массы покоя 𝑇=𝑝 и вообще отсутствует форма энергии покоя. Итак, 𝐸=(Масса покоя)+(Кинетическая энергия)=0+𝑇=𝑇=𝑝 (лишь в случае нулевой массы покоя!)

❔

Означает ли инвариантность массы покоя, что эта масса не может изменяться при столкновениях?

✔

Нет. Масса покоя часто изменяется при неупругих соударениях. Пример 1: столкновение двух пластилиновых шаров — нагревание и увеличение вследствие этого массы после столкновения. Пример 2: столкновение двух электронов (𝑒⁻) достаточной энергии порождает новую пару, состоящую из одного обычного электрона и одного положительного электрона (позитрона) (𝑒⁺): 𝑒⁻ (быстрый) + 𝑒⁻ (покоящийся) → 𝑒⁺ + 3𝑒⁻

❔

Как величина может быть инвариантной и тем не менее изменяться в результате столкновения?

✔

Инвариантность означает «неизменность величины, определяемой в различных инерциальных системах отсчёта», а не «неизменность при столкновениях или при воздействии внешних сил»

❔

Изменяется ли масса покоя при всяком неупругом столкновении?

✔

Нет. Пример: в столкновении 𝑒⁻ (быстрый) + 𝑒⁻ (покоящийся) → → 2

⎛

⎜

⎜

⎝

Электроны с

умеренной

скоростью

⎞

⎟

⎟

⎠ + +

⎛

⎜

⎜

⎝

Электромагнитная энергия,

или фотоны, порождённые

в процессе столкновения

⎞

⎟

⎟

⎠

массы покоя электронов остались после столкновения такими же, какими они были до этого

❔

Изменяется ли когда-нибудь масса покоя при упругих столкновениях?

✔

Нет — по определению упругого столкновения! Пример: 𝑒⁻ (быстрый) + 𝑒⁻ (покоящийся) → → 2

⎛

⎜

⎜

⎝

Электроны с

умеренной

скоростью

⎞

⎟

⎟

⎠ + +

⎛

⎜

⎝

Никакого излучения

⎞

⎟

⎠

❔

Дана система, состоящая из нескольких (𝑛) свободно движущихся частиц. Равна ли масса покоя такой системы сумме масс покоя отдельных входящих в неё частиц? Пример: ящик с нагретым газом.

✔

Нет. Масса покоя 𝑀 системы превышает сумму масс покоя частиц, если только все частицы по чистой случайности не движутся с одной и той же скоростью в одну сторону. Аддитивной является не масса покоя, а энергия и импульс: 𝐸_{системы} =

𝑛

∑

𝑖=1 = 𝐸_𝑖 , 𝑝_{системы}^𝑥 =

𝑛

∑

𝑖=1 = (𝑝^𝑥)_𝑖 .

На основании этих сумм может быть вычислена и масса покоя системы: 𝑀² = (𝐸_сис)² - (𝑝_сис^𝑥)² - (𝑝_сис^𝑦)² - (𝑝_сис^𝑧)² .

❔

Упрощается ли это соотношение, когда полный импульс системы равен нулю?

Пример 1. Ящик с нагретым газом покоится в лаборатории

Пример 2. Любая система свободно движущихся частиц, рассматриваемая в инерциальной системе отсчёта, выбранной таким образом, чтобы полный импульс оказался равным нулю

✔

Да. В этом случае масса покоя системы выражается в виде суммы энергий отдельных частиц: 𝑀 = 𝐸_{системы} =

𝑛

∑

𝑖=1 𝐸_𝑖 .

Более того, энергия каждой частицы всегда может быть выражена как сумма энергии покоя и кинетической энергии: 𝐸_𝑖 = 𝑀_𝑖 + 𝑇_𝑖 ,  𝑖=1, 2, …, 𝑛 .