𝑝

₃

^𝑘

=

𝑝₂

^𝑘

+

𝑝₀

^𝑘

-

𝑝

₁

^𝑘

(𝑘=𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)

.

Индексом «нуль» обозначен первоначально покоившийся дейтрон. «Длина» искомой четвёртой стороны многоугольника сразу же даёт требуемую массу

(𝑚₃)²

=

(

𝑝

₃

^𝑡

)²

-

(

𝑝

₃

^𝑥

)²

-

(

𝑝

₃

^𝑦

)²

-

(

𝑝

₃

^𝑧

)²

.

Использование законов сохранения всегда связано с многоугольником, построенным из 4-векторов

Проделанный анализ показывает, что определение массы ядра трития, исходя из реакции 𝙷²+𝙷²→𝙷¹+𝙷³, имеет в высшей степени геометрический характер. Этим примером иллюстрируется общий принцип: используя законы сохранения энергии и импульса, мы всегда говорим о многоугольнике, построенном в пространстве-времени из 4-векторов. Если не считать различия между геометриями Лоренца и Эвклида, расчёты здесь не отличаются от проводимых в геодезии, тригонометрии или любых других исследованиях треугольников и многоугольников. Из этого сравнения физики элементарных частиц и геодезии, как ни из какого иного подхода, следует полный охват ситуаций, с которыми можно столкнуться при анализе экспериментов. Нет ни одной задачи из области столкновений частиц, реакций между ними и процессов их превращений, которая не имела бы своего аналога в элементарной геометрии. В табл. 12 подобраны и обсуждены некоторые примеры таких задач и их соответствующих аналогов.

Таблица 12.

Нахождение массы, энергии или другой физической величины с помощью законов сохранения аналогично нахождению длины одной из сторон многоугольника, угла или другой геометрической величины с помощью теорем эвклидовой геометрии

Физика частицАналог в геометрии Эвклидапроцессзадача 𝐴 (быстрая) + 𝐵 (мишень) → 𝐶 (наблюдаемая) + 𝐷 (ненаблюдаемая)

Известны: 𝑚_𝐴, 𝑚_𝐵, 𝑚_𝐶

Измеряются: 𝐸_𝐴, 𝐸_𝐶 и направление 𝑝_𝐶 относительно 𝑝_𝐴

Вычисляются: неизвестная масса 𝑚_𝐷

Даны (для неправильного четырехугольника, стороны которого не компланарны): длины трёх сторон, компоненты этих трёх сторон в направлении север — юг и угол между двумя из этих сторон с точки зрения наблюдателя, который смотрит вдоль третьей стороны

Найти: длину четвёртой стороны

Фотон (с импульсом 𝑝)+ Электрон (покоящийся) → Электрон (движущийся) + Фотон (с импульсом 𝑝)

Даны: масса покоя электрона, начальный импульс (или энергия, 𝐸=𝑝) фотона и направление вылета конечного фотона

Вычислить: импульс (или энергию 𝐸=𝑝) этого фотона («эффект Комптона», см. упражнение 70)

Даны (для неправильного четырехугольника, стороны которого не компланарны): длины всех четырёх сторон, компоненты двух сторон в направлении север — юг (аналог «энергии фотона и электрона до столкновения»!) и угол между двумя из сторон («фотон до и после рассеяния») с точки зрения наблюдателя, смотрящего вдоль третьей стороны («электрон-мишень»)

Найти: компоненту одной неизвестной стороны в направлении восток — запад

₉₄𝙿𝚞²³⁹ (покоящийся) → ₅₆𝙱𝚊¹⁴⁴+₃₈𝚂𝚛⁹⁵ (спонтанный распад ядра плутония на два фрагмента)

Измеряются: скорости тяжёлого и лёгкого фрагментов в опытах по времени полёта, а также масса 𝙿𝚞²³⁹ с помощью масс-спектрометра

Найти: массы покоя обоих фрагментов

Даны: большая сторона треугольника («масса покоя плутония») и два прилежащих угла («параметры скорости θ, связанные со скоростью по формуле (β=th θ»)

Найти: две другие стороны

Тот же процесс, что в предыдущем примере

Даны: данные измерений предыдущего примера

Найти: кинетическую энергию, высвободившуюся при распаде

Даны: данные предыдущего примера

Найти: разность между большей стороной и суммой двух других сторон треугольника

(μ (покоящийся мю-мезон) → 𝑒 (быстрый электрон) + ν (нейтрино; скорость света)

(Мю-мезон спонтанно распадается за ~10⁻⁶ сек)

Известны: масса покоя электрона

Измеряются: кинетическая энергия электрона, порождённого при этом превращении

Найти: массу покоя мю-мезона

Известны: две меньшие стороны треугольника («масса покоя электрона 𝑚 и масса покоя нейтрино 0») и один угол («параметр скорости θ электрона, найденный по его энергии, 𝐸=𝑚 ch θ»)

Найти: большую сторону треугольника

Здесь так же невозможно дать рецепты для анализа всех типов столкновений и превращений, которые могут иметь место в физике и происходят на самом деле, как было бы нелепо пытаться в кратком учебнике по основам эвклидовой геометрии перечислить и решить всё множество задач, которые могут быть поставлены там. Сущность типичной задачи можно сформулировать, обобщая аналогии табл. 12. Пусть даны такие-то и такие-то стороны многоугольника, а также такие-то и такие-то проекции их на направления север — юг, восток — запад и верх — низ, а также такие-то и такие-то углы. Требуется определить такие-то и такие-то длины («массы покоя»), проекции («энергии или импульсы») или углы («скорости относительно других частиц или относительно лаборатории»). Углубляться в разнообразные вычисления, необходимые для решения таких задач,— вовсе не значит прояснить основные идеи. В физике частиц эти «идеи» сводятся в конце концов к двум очень простым свойствам геометрии пространства-времени: 1) векторная сумма 4-векторов энергии-импульса всех участвующих в реакции частиц равна нулю (если брать 4-векторы продуктов реакции с обратным знаком) и 2) инвариантная абсолютная величина каждого 4-вектора равна массе покоя соответствующей частицы.

Применение законов сохранения к исследованию столкновений и превращений.

Известные и неизвестные величины

Применение этих идей регулируется стандартными правилами алгебры. 1) Чтобы найти 𝑛 различных неизвестных, нужно иметь 𝑛 независимых уравнений, в которых все прочие величины известны. 2) Если мы располагаем лишь 𝑛-𝑟 независимыми уравнениями, то 𝑟 неизвестных величин останутся неопределенными. (Примером служит столкновение дейтрона заданной энергии с покоящимся дейтроном, приводящее к образованию ядра трития и протона. Если бы даже были заданы массы покоя всех четырех частиц, было бы всё равно невозможно предсказать исход этой реакции. Причина проста: протон может вылететь в любом из бесчисленного множества направлений, в каком ему заблагорассудится. В этой задаче угол вылета протона является неопределенным. Если задать этот угол как одно из условий задачи (в нашем примере θ = 90°), то можно вычислить энергию. Наоборот, задавая энергию, можно предсказать величину угла вылета протона). 3) Если мы имеем 𝑛+𝑠 независимых уравнений для нахождения 𝑠 неизвестных, то нам достаточно для этого ограничиться первыми 𝑛 уравнениями. Остальные 𝑠 уравнений будут служить для проверки точности измерений или выполнения физических законов. Используя эти принципы, часто берут в качестве основных величин значения компонент 𝐸, 𝑝^𝑥, 𝑝^𝑦 и 𝑝^𝑧 различных частиц как для удобства их учета, так и ради систематического контроля числа известных и неизвестных величин.

Примером подсчета числа известных и неизвестных служит реакция: (Дейтрон) + (Дейтрон) (Протон) + (Ядро трития), используемая для нахождения массы ядра трития. Этот пример проанализирован в табл. 13.