Из исследования импульса, проделанного на рис. 85, ясно, что величина 𝑚 — это масса в том смысле, в каком её понимают в ньютоновской механике. Поэтому 𝑚 есть величина постоянная, одинаковая для всех скоростей, всех положений и всех моментов времени. Всё различие между релятивистской формулой для импульса (например, 𝑚⋅𝑑𝑥/𝑑τ) и соответствующей ньютоновской формулой (𝑚⋅𝑑𝑥/𝑑𝑡) сводится поэтому к различию между собственным и лабораторным временем, а не к различию в 𝑚 при этих двух описаниях природы. В некоторых прежних изложениях теории относительности ньютоновское выражение для импульса (𝑚⋅𝑑𝑥/𝑑𝑡) исправлялось не путём простой замены 𝑑𝑡 на 𝑑τ, принятой сейчас, а путём введения «массы движения», зависящей от скорости таким образом, чтобы можно было продолжать пользоваться формулами типа Ньютона, например:

𝑝

^𝑥

⎛

⎜

⎝

релятивистская

величина

⎞

⎟

⎠

=

𝑚

_{движения}

⋅

𝑑𝑥

𝑑τ

.

Эта масса движения должна тогда быть равна

𝑚

_{движения}

=

𝑚

𝑑𝑡

𝑑τ

=

𝑚

√1-β²

.

(72)

Такое обозначение ещё можно иногда встретить. Однако в физических рассуждениях полезнее всего использовать величины, одинаковые во всех системах отсчёта, такие, как 𝑚 и 𝑑τ. Этот факт сейчас получает всё более широкое признание. Поэтому мы будем обычно понимать под термином «масса» не зависящую от скорости величину 𝑚.

Рис. 85. Вывод релятивистского выражения для импульса из закона сохранения импульса в случае скользящего соударения.

Частица 𝐵 движется настолько медленно, что ньютоновское выражение для импульса представляет собой сколь угодно хорошее приближение для её импульса: (Импульс)=𝑚⋅Δ𝑦_𝐵/Δ𝑡_𝐵 Здесь Δ𝑡_𝐵 — время, за которое частица 𝐵 пролетает расстояние Δ𝑦_𝐵 от нижней границы рисунка до точки соударения. Это лабораторное время по своей величине сколь угодно близко к собственному времени полёта Δτ_𝐵 по той же причине, а именно потому, что скорость 𝐵 может быть выбрана сколь угодно малой. (Пример: при β=0,01 относительное различие величин Δτ и Δ𝑡 составляет 5⋅10⁻⁵). Поэтому импульс 𝐵 можно записать как 𝑚⋅Δ𝑦_𝐵/Δτ_𝐵. Зная величину импульса 𝐵, можно найти величину импульса 𝑝_𝐴 частицы 𝐴, сравнивая изображённые здесь диаграммы для импульса и для перемещения 𝐴 (правило подобных треугольников). Для частицы 𝐴 𝑦-компонента перемещения может быть сделана равной 𝑦-компоненте перемещения частицы 𝐵 (симметричное расположение «пола» и «потолка», о которые ударяются соответственно 𝐴 и 𝐵): Δ𝑦_𝐴=Δ𝑦_𝐵=Δ𝑦. Промежуток собственного времени между моментами соударения и удара об пол (потолок) также один и тот же для 𝐴 и 𝐵: Δτ_𝐴=Δτ_𝐵.

Доказательство 1) Движение частицы 𝐴 в системе отсчёта ракеты совпадает с движением частицы 𝐵 в лабораторной системе отсчёта (ср. рис. 83 и 84). Поэтому собственные времена полёта равны одно другому: (Δτ_𝐴)_{система ракеты} = (Δτ_𝐵)_{лабораторная система}.

2) Но собственное время между двумя событиями (столкновение и удар) одинаково во всех системах отсчёта, т.е. (Δτ_𝐴)_{лабораторная ракеты} = (Δτ_𝐴)_{система ракеты}.

3) Следовательно, (Δτ_𝐴)_{лабораторная ракеты} = (Δτ_𝐵)_{лабораторная система}.

что и требовалось доказать. Конечно, лабораторные часы показывают совершенно разные продолжительности полётов частиц 𝐴 и 𝐵, если 𝐴 обладает скоростью, близкой к скорости света: (Δ𝑡_𝐴)²_{лабораторная ракеты} = = (Δτ_𝐴)²_{лабораторная ракеты} + (Δ𝑥_𝐴)²_{лабораторная ракеты} ≫ ≫ (Δτ_𝐴)²_{лабораторная ракеты} = = (Δτ_𝐵)²_{лабораторная ракеты} = (Δ𝑡_𝐵)²_{лабораторная ракеты} .

Поэтому импульс частицы 𝐴 в конце концов выражается непосредственно через величины, которые относятся лишь к движению 𝐴: 𝒑_𝐴 = 𝑚

Δ𝒓_𝐴

Δτ_𝐴 .

Переходя от конечных разностей к производным и вспоминая, что импульс и перемещение обладают одним и тем же направлением, получим 𝒑 = 𝑚

𝑑𝒓

𝑑τ .

Это и есть релятивистская формула для импульса, справедливая для частицы, обладающей сколь угодно высокой энергией.

Релятивистский импульс сводится к ньютоновскому в пределе малых скоростей

Насколько велико различие между релятивистским и ньютоновским выражениями для импульса? Релятивистское выражение для импульса должно сводиться к ньютоновскому, когда скорости частиц малы. Такие медленные частицы проходят путь, много меньший одного метра за один метр времени (𝑑𝑟/𝑑𝑡). Тогда собственное время √(𝑑𝑡)²-(𝑑𝑟)²=√1-β²⋅𝑑𝑡 при любом перемещении медленной частицы очень мало отличается от координатного времени 𝑑𝑡:

𝑑τ

≈

𝑑𝑡

(для медленной частицы),

причём для β=0,01 это равенство справедливо с точностью до 5 : 100 000 и стремится к тождественному совпадению при β→0. При этом релятивистское выражение для импульса 𝒑=𝑚⋅𝑑𝒓/𝑑τ совпадает с ньютоновским выражением 𝒑=𝑚⋅𝑑𝒓/𝑑𝑡 величина 𝑚 одна и та же (инвариант 𝑚!).

В некоторых случаях удобнее выражать импульс через параметр скорости частицы θ, а иногда через её скорость β=th θ. Тогда

𝑝

=

𝑚

𝑑𝑟

𝑑τ

=

𝑚

𝑑𝑟

√(𝑑𝑡)²-(𝑑𝑟)²

=

=

𝑚⋅𝑑𝑟/𝑑𝑡

=

⎡

⎢

⎣

1

-

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑟

⎞

⎟

⎠

²

⎤

⎥

⎦

½

𝑑𝑡

=

𝑚β

√1-β²

=

𝑚 th θ

√1-th²θ

=

=

𝑚 th θ

=

⎧

⎪

⎩

ch²θ

 -

sh²θ

⎫

⎪

⎭

½

ch²θ

ch²θ

𝑚 th θ ch θ

√ch²θ-sh²θ

=

𝑚 sh θ

,

так что

𝑝

=

𝑚 sh θ

=

𝑚β

√1-β²

⎛

⎜

⎜

⎝

релятивистский

импульс,

размерность массы

⎞

⎟

⎟

⎠

(73)

Другой вид имеет ньютоновское выражение для импульса:

𝑝

=

𝑚β

=

𝑚 th θ

⎛

⎜

⎜

⎝

ньютоновский

импульс,

размерность массы

⎞

⎟

⎟

⎠

(74)

Эти два выражения для импульса различаются множителем

𝑑𝑡

𝑑τ

=

ch θ

1

√1-β²

,

который определяет отношение между лабораторным временем и собственным временем, регистрируемым часами, летящими вместе с частицей. Этот множитель совпадает с коэффициентом в формуле замедления хода времени (см. упражнение 10). Присутствие такого множителя в релятивистской формуле для импульса показывает, что частица способна нести с собой в процессах столкновений сколь угодно большой импульс, если только она движется со скоростью, близкой к скорости света. Этого никак нельзя было ожидать, опираясь на неверную в этом случае ньютоновскую формулу для импульса 𝑝=𝑚β, где 𝑚 — постоянная, а β не может превышать единицы.