Таким образом, выражение для импульса быстро движущихся частиц существенно отличается от предсказываемого теорией Ньютона. Однако процедура определения массы некоторой новой частицы, принявшей участие в процессе столкновения, в принципе одна и та же как в релятивистской, так и в ньютоновской механике. Её суть может быть выражена по-разному: 1) как принцип действия и противодействия; 2) как принцип, связывающий отдачу ружья с импульсом пули; 3) как закон сохранения импульса.
Определение массы неизвестной частицы по упругому столкновению её со стандартной частицей
Рис. 86. Скорости до и после лобового упругого столкновения, наблюдаемые в той системе отсчёта, где полный импульс равен нулю.
Рассмотрим специально лобовое упругое столкновение: 1) стандартной частицы массы 𝑚₁ (пусть величина этой массы произвольно устанавливается Международным комитетом мер и весов) и 2) исследуемой частицы, обладающей пока неизвестной массой 𝑚₂ величину которой нам нужно определить. Говоря, что столкновение является лобовым и упругим, мы имеем в виду существование такой системы отсчёта, в которой зарегистрированные до и после соударения данные о скоростях частиц обнаруживают симметрию, изображённую на рис. 86. Эта симметрия состоит в том, что полный импульс меняет свой знак на обратный в результате соударения. Но ведь полный импульс при соударении сохраняется! Значит, этот полный импульс должен быть равен нулю. Итак, импульсы наших двух частиц после столкновения должны удовлетворять условию
𝑚₁
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑥
𝑑τ
⎞
⎟
⎠₁
+
𝑚₂
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑥
𝑑τ
⎞
⎟
⎠₂
=
0.
Из этого соотношения можно получить выражение неизвестной массы в единицах известной массы стандартной частицы:
𝑚₂
𝑚₁
=
(-𝑑𝑥/𝑑τ)₁
(𝑑𝑥/𝑑τ)₂
=
=
-Δ𝑥₁
√(Δ𝑡₁)²-(Δ𝑥₁)²
×
√(Δ𝑡₂)²-(Δ𝑥₂)²
Δ𝑥₂
.
(75)
Здесь Δ𝑥₁ и Δ𝑥₂ — расстояния, пройденные каждой из двух частиц из точки соударения до точек наблюдения, а Δ𝑡₁ и Δ𝑡₂ — соответствующие времена движения. В случае упругого столкновения нерелятивистских частиц правая сторона равенства (75) принимает ньютоновский вид
𝑚₂
𝑚₁
=-
β₂
β₁
=
-Δ𝑥₁/Δ𝑡₁
Δ𝑥₂/Δ𝑡₂
⎛
⎜
⎝
ньютоновский
предел
⎞
⎟
⎠
.
(76)
Простота релятивистского определения импульса не может быть вполне оценена, пока импульс не рассматривается как пространственная часть 4-вектора энергии-импульса. И только тогда становится ясно, что баланс энергии в процессах столкновения может служить косвенной проверкой закона сохранения импульса, так что к бесчисленному множеству непосредственных экспериментальных способов проверки закона сохранения импульса добавляется ещё этот косвенный способ.
12. 4-ВЕКТОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА
Для того чтобы представить себе импульс и энергию как части более обширного единого целого, полезно вспомнить, как пространство и время объединяются, становясь частями также более обширного единого целого. Рассмотрим переход частицы из мировой точки (события) 𝐴 в пространстве-времени в соседнюю мировую точку 𝐵. Идея объединения пространства и времени состоит в том, чтобы рассматривать 4-вектор, соединяющий 𝐴 и 𝐵 1). Компоненты этого 4-вектора (смещения 𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑧 и 𝑑𝑡) имеют разные значения в зависимости от того, в какой системе отсчёта рассматривается этот 4-вектор. Несмотря на произвольный способ описания 4-вектора 𝐴𝐵, который мы выберем, этот 4-вектор оказывается вполне строго определён. Не только интервал имеет одну и ту же величину во всех системах отсчёта! Что ещё более важно, расположение самих событий 𝐴 и 𝐵, а значит, и положение 4-вектора 𝐴𝐵 в пространстве-времени определяются так же строго, как положение двух городских ворот, независимо от того, какие координаты мы используем, и даже независимо от того, используем ли мы вообще какие бы то ни было координаты.
1) В 1872 г. в своей лекции в ознаменование вступления в должность профессора Эрлангенского университета Феликс Клейн провозгласил новую точку зрения на геометрию, что оказало решающее влияние на современную геометрию. Ключевой пункт его идеи состоял в проведении различия между геометриями разного рода, исходя из законов преобразования компонент величин. Например, можно с полной ясностью увидеть различие между эвклидовой геометрией и лоренцевой геометрией реального физического мира на основании используемого ныне определения вектора:
4-вектор определяется заданием в каждой инерциальной системе отсчёта четырёх чисел (различных в разных системах!), причём эти числа преобразуются при переходах между системами отсчёта по формулам преобразования Лоренца (32).
3-вектор определяется заданием в каждой эвклидовой системе координат трёх чисел (компонент, различных в разных системах координат!), причём эти числа преобразуются при переходах между системами координат по соответствующим формулам преобразования поворота геометрии Эвклида (29).
Зная, что некоторая величина — вектор, и зная значения её компонент лишь в одной системе отсчёта, можно сразу же найти значения её компонент в любой другой системе отсчёта, используя соответствующий 3- или 4-мерный закон преобразования компонент.
Энергия как четвёртая компонента 4-вектора энергии-импульса
Мы ожидаем, что подобным же образом можно будет понять смысл импульса и энергии частицы на любом заданном этапе её истории, понять их как компоненты и не более как компоненты 4-вектора, существующего независимо от всякого выбора координат. Более того, связь такого «4-вектора энергии-импульса» с 4-вектором смещения 𝐴𝐵 не будет ни косвенной, ни далёкой. Разве может быть что-либо более последовательным и прямым, чем следующая цепочка рассуждений:
1) Берётся 4-вектор смещения 𝐴𝐵 с компонентами
𝑑𝑡
,
𝑑𝑥
,
𝑑𝑦
,
𝑑𝑧
(см. рис. 87).
Рис. 87. 4-вектор перемещения 𝐴𝐵, соединяющий события 𝐴 и 𝐵 на мировой линии частицы. Он изображён здесь для частного случая, когда 𝑦- и 𝑧- компоненты перемещения 𝑑𝑦 и 𝑑𝑧 одновременно равны нулю.
2) С помощью 4-вектора 𝐴𝐵 строится единичный касательный вектор путём деления его на интервал собственного времени
𝑑τ
=
√
(𝑑𝑡)²-(𝑑𝑥)²-(𝑑𝑦)²-(𝑑𝑧)²
,
взятый между мировыми точками 𝐴 и 𝐵 компоненты этого касательного вектора
𝑑𝑡
𝑑τ
,
𝑑𝑥
𝑑τ
,
𝑑𝑦
𝑑τ
,
𝑑𝑧
𝑑τ
изображены на рис. 88.
Рис. 88. Единичный касательный вектор к мировой линии частицы, полученный делением 4-вектора перемещения 𝐴𝐵 (рис. 87) на инвариантный интервал собственного времени 𝑑τ. Временная и пространственная компоненты единичного вектора касательной равны
𝑑𝑡
𝑑τ =
