Заключение о равенстве нулю полного импульса следует из таких соображений симметрии: допустим, что полный импульс в этой симметричной по скоростям системе отсчёта отличен от нуля. Тогда, как мы сейчас увидим, возникает противоречие. Если другие два шара начинают двигаться в точности так же, как 𝐴 и 𝐵 на рис. 82, причём они отличаются лишь тем, что на место шара 𝐴 помещён шар 𝐵, а на место 𝐵 — 𝐴, ситуация не может измениться. Поэтому полный импульс должен остаться тем же самым как по величине, так и по направлению, что и полный импульс системы на рис. 82 (мы не изобразили его там, потому что на самом деле он равен нулю!). Но ведь изображение нового столкновения можно получить, если рассматривать рис. 82, повернув книгу вверх ногами (поворот на 180° в её собственной плоскости). А это приводит к изменению направления полного импульса на обратное. Следовательно, полный вектор импульса не должен изменяться при повороте на 180°! Это противоречие исчезает, лишь если полный вектор импульса по модулю равен нулю. Итак, до столкновения две тождественные частицы обладают равными и противоположно направленными импульсами.
Что же произойдёт после столкновения? Шары должны и тогда двигаться во взаимно противоположных направлениях с равными скоростями. Если бы это было не так, то сумма их импульсов не была бы равна нулю и полный импульс не сохранялся бы при соударении в нарушение принятого требования. Ограничимся (лишь временно) анализом соударений, являющихся упругими по следующему определению. Если просматривать кинофильм, изображающий процесс столкновения, в обратном порядке, то в этом процессе не произойдёт никаких изменений, кроме того, что частица 𝐴 стала двигаться теперь справа налево, а частица 𝐵 — слева направо, тогда как раньше всё было наоборот, В этом смысле упругое соударение — это такое соударение, которое обратимо. Если изображённое на рис. 82 соударение является в этом смысле упругим, то каждый шар изменяет лишь направление своего движения, но не абсолютную величину скорости (не считая момента удара), и в результате эффект соударения сводится к простому повороту векторов скорости обеих частиц. В этой системе отсчёта можно выбрать направления осей 𝑥 и 𝑦 таким образом, что 𝑥-компоненты скоростей обеих частиц не изменятся при столкновении, тогда как их 𝑦-компоненты просто изменят знак.
Описание столкновения в трех разных системах отсчета
Рис. 83. То же столкновение, что на рис. 82, но наблюдаемое в системе отсчёта ракеты.
Нас интересует анализ 𝑦-компоненты полного импульса и сохранение этой компоненты при таком столкновении. Для этого проще всего рассмотреть столкновение в такой системе отсчета, где шар 𝐴 движется только в направлении оси 𝑦. Это система отсчета ракеты, летящей вправо по отношению к системе, в которой изображен рис. 82, со скоростью, равной 𝑥-компоненте скорости шара 𝐴. Наблюдаемое в такой системе отсчета столкновение изображено на рис. 83. Имеется также система отсчета, в которой шар 𝐵 движется только в направлении оси 𝑦. Это лабораторная система отсчета, движущаяся влево по отношению к системе, в которой изображен рис. 82, со скоростью, равной 𝑥-компоненте скорости шара 𝐵. Наблюдаемое в такой системе отсчета столкновение изображено на рис. 84.
Рис. 84. То же столкновение, что на рис. 82, но наблюдаемое в лабораторной системе отсчёта.
Мы стремимся узнать всё, что только можно, об импульсе частицы (скорость которой может быть очень близка к скорости света), исходя из данных ньютоновской физики об импульсе частицы с очень малой скоростью. Для этих целей анализ скользящего соударения подходит идеально. Мы можем подобрать такое столкновение, при котором частица-мишень обладает сколь угодно малой скоростью не только до соударения, но и после него (частица 𝐵 на рис. 84). Тогда импульс частицы-мишени может быть получен по ньютоновской формуле 𝑝=𝑚β как до, так и после соударения. Исходя из этого, легко определить изменение импульса медленной частицы (𝐵) в процессе соударения, что позволит нам найти изменение импульса и даже самый импульс быстрой частицы (𝐴). Исходя из симметрии схемы столкновения, очевидно, что приобретённый частицей 𝐵 импульс вдвое превышает величину её импульса до соударения, так что
1
2
⋅
⎛
⎜
⎝
Изменение
импульса 𝐵
⎞
⎟
⎠
=
𝑚
𝑑𝑦
𝑑𝑡
.
Импульс пропорционален величине перемещения частицы за единицу собственного времени
Частица 𝐴 передаёт часть импульса частице 𝐵, но не за счёт изменения абсолютной величины своего импульса, а за счёт изменения направления своего вектора импульса. Иными словами, переданный импульс составляет меньшую и известную нам сторону треугольника импульсов. Другие две (равные друг другу) стороны этого треугольника являются бóльшими и неизвестны нам. Однако мы знаем, чему равны как длинные, так и короткая стороны подобного треугольника — треугольника перемещений. Из пропорциональности соответствующих сторон подобных треугольников мы сразу же получаем (см. рис. 85) выражение для импульса быстро движущейся частицы 𝐴:
𝒑=𝑚
𝑑𝒓
𝑑τ
=𝑚
⎛
⎜
⎝
Перемещение за единицу
собственного времени
⎞
⎟
⎠
.
(70)
Компоненты этого вектора по отдельности 1) равны:
𝑝
𝑥
=
𝑚
𝑑𝑥
𝑑τ
,
𝑝
𝑦
=
𝑚
𝑑𝑦
𝑑τ
,
𝑝
𝑧
=
𝑚
𝑑𝑧
𝑑τ
(71)
в лабораторной системе отсчёта.
1) Почему не 𝑝𝑥 а 𝑝𝑥? В четырёхмерной геометрии пространства-времени в отличие от эвклидовой геометрии пространства существенно расположение индекса (см. подробности относительно стандартных обозначений в примечании на стр. 157).
В системе отсчёта ракеты компоненты импульса даются выражениями, аналогичными формулам (71) с той лишь разницей, что в них фигурируют 𝑑𝑥', 𝑑𝑦' и 𝑑𝑧' — компоненты перемещения, измеренные в системе отсчёта ракеты. Интервал собственного времени 𝑑τ' между двумя близкими событиями на мировой линии частицы обладает одним и тем же значением при вычислении исходя из данных, полученных на ракете, и при вычислении на основании лабораторных измерений («инвариантность интервала»). Поэтому излишне различать 𝑑τ и 𝑑τ'. Кроме того, величина 𝑑𝑦' (в системе отсчёта ракеты) равна величине 𝑑𝑦 (в лабораторной системе отсчёта), а также 𝑑𝑧=𝑑𝑧' Следовательно, компоненты импульса
𝑝
𝑦
=
𝑚
𝑑𝑦
𝑑τ
и
𝑝
𝑧
=
𝑚
𝑑𝑧
𝑑τ
,
перпендикулярные к направлению движения ракеты относительно лабораторной системы отсчёта, не зависят от скорости этого движения.
Импульс аналогичен перемещению в том отношении, что поперечные компоненты этих обоих векторов не зависят от скорости движения наблюдателя. Такая аналогия этих двух векторов имеет очень простую причину: импульс получается из перемещения (Δ𝑥, Δ𝑦, Δ𝑧) путём умножения на величину 𝑚/Δτ, одинаковую во всех инерциальных системах отсчёта!
Массу наиболее целесообразно определять как не зависящий от скорости коэффициент в выражении для импульса
