Подобным же образом в ньютоновской механике кинетическая энергия частицы определяется как произведение массы на квадрат скорости, разделенное на два. Взяв скорость β, измеряемую в м/м, получим ньютоновское выражение для кинетической энергии в виде ½𝑚β². Здесь не утверждается ничего нового об энергии (и это не релятивистское выражение для энергии!), лишь подчеркивается, что время измеряется в метрах. Но когда время измеряется в метрах, энергия имеет размерность массы; и энергия, и импульс обладают одной и той же размерностью. Для того чтобы перейти к обычным единицам (например, джоулям), требуется лишь домножить эту энергию на коэффициент перевода 𝑐² (квадрат скорости света), чтобы перейти от β² к 𝑧, так что
⎛
⎜
⎜
⎝
Ньютоновская
кинетическая энергия
в обычных единицах
⎞
⎟
⎟
⎠
=
1
2
𝑚β²𝑐²
=
1
2
𝑚𝑣²
.
Мы будем обозначать импульс (𝑝) и кинетическую энергию (𝑇), выраженные в единицах массы, без дополнительных значков. Итак, в ньютоновском пределе малых скоростей
𝑝
=
𝑚β
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
⎛
⎜
⎝
малые скорости,
размерность массы
⎞
⎟.
⎠
𝑇
=
1
2
𝑚β²
(67)
При этом мы снабдим обозначения для импульса и энергии в обычных единицах индексом «обычн», подчёркнуто громоздким, чтобы вызвать неприязнь к использованию обычных единиц. Тогда в ньютоновском пределе малых скоростей
𝑝
обычн
=
𝑚𝑣
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
⎛
⎜
⎝
малые скорости,
обычные единицы
⎞
⎟.
⎠
𝑇
обычн
=
1
2
𝑚𝑣²
(68)
В этой главе мы выведем релятивистские выражения для энергии и импульса в единицах массы. Энергия и импульс, выраженные в единицах массы, могут быть просто переведены в величины обычной размерности путём умножения соответственно на 𝑐 и 𝑐². Эти результаты подытожены (в обеих системах единиц) на внутренней стороне обложки книги.
11. ИМПУЛЬС
Из соображений симметрии следует, что импульс параллелен скорости
Много ли можно узнать об импульсе, не обращаясь к эксперименту, а просто из сведений, которыми мы располагаем о структуре пространства-времени? В частности, если вообще существует для каждой частицы такая векторная величина, которую мы называем «импульс», причём сумма этих величин для всех частиц при взаимодействиях последних сохраняется, то как должен импульс любой частицы зависеть от её скорости? Так как импульс — величина векторная, нам следует прежде всего выяснить направление этого вектора для данной частицы и уже затем найти зависимость его модуля от её скорости. Начнём с обоснования того, что вектор импульса частицы ориентирован по направлению её движения. Этот вывод можно получить из соображений симметрии — мощного метода физического анализа — следующим образом. В инерциальной системе отсчёта пространство одинаково во всех направлениях, так что мы называем его изотропным. Раз это так, то одним-единственным направлением, связанным с движением прямолинейно летящей частицы, может быть лишь то направление, в котором происходит это движение. Если бы вектор импульса частицы не был направлен в точности по её движению, а составлял, скажем, угол 30° с направлением движения частицы, то существовало бы громадное множество векторов, все повёрнутые на 30° по отношению к направлению движения и совершенно равноправные, каждый из которых мог бы изображать импульс. Но ведь пространство изотропно! Поэтому мы не могли бы предпочесть ни одного из этих векторов остальным. Но, однако, мы предположили, что импульс определяется однозначно как по своему модулю, так и по направлению, если задана скорость. Значит, мы столкнулись с противоречием, от которого можно избавиться, лишь приняв, что вектор импульса должен лежать вдоль направления движения частицы. Но это значит, что можно выбрать его как параллельным, так и антипараллельным этому направлению, и мы произвольно выбираем направление вектора импульса, совпадающее с направлением скорости частицы 1). Итак, можно окончательно сказать, что вектор импульса частицы совпадает по направлению с её скоростью.
1) Мы могли бы, конечно, выбрать направление вектора импульса частицы противоположным (антипараллельным) направлению ее движения. Такой выбор соответствовал бы симметрии данной задачи и не приводил бы ни к каким физическим противоречиям, если его распространить на все частицы. В таком случае импульсы отдельных частиц и полный импульс системы обладали бы направлениями, противоположными направлениям соответствующих импульсов, определенных выше. Однако по традиции мы ориентируем вектор импульса частицы в том же направлении, какое имеет ее скорость.
Нахождение зависимости импульса от скорости на основании закона сохранения импульса
Итак, мы знаем уже, как направлен вектор импульса частицы. Вторым этапом исследования будет определение абсолютной величины (модуля) этого вектора. Это можно сделать, потребовав, чтобы полный импульс сохранялся при упругих столкновениях. Вместе со свойством инвариантности интервала в лоренцевой геометрии это требование окажется достаточным для того, чтобы показать, что ньютоновское выражение для импульса
𝑝
=
𝑚β
(=𝑚 th θ)
=
𝑚⋅
⎛
⎜
⎝
Смещение за
единицу времени
⎞
⎟
⎠
должно быть заменено релятивистской формулой
𝑝
=
𝑚 sh θ
=
𝑚β
√1-β²
=
=
𝑚⋅
⎛
⎜
⎝
Смещение за
единицу собственного времени
⎞
⎟
⎠
(69)
Если скорость β мала (т.е. мал параметр θ), точное релятивистское выражение (69) приближённо совпадает с ньютоновским выражением.
При соответствующем выборе системы отсчёта полный импульс до столкновения равен нулю
Рис. 82. Скользящее упругое столкновение, наблюдаемое в системе отсчёта, которая движется таким образом, что оба шара имеют до столкновения одинаковые скорости, но движутся во взаимно противоположных направлениях.
Рассуждения, приведённые в тексте, показывают, что после упругого столкновения оба шара движутся вновь с их первоначальными скоростями, а направления их движения снова взаимно противоположны, если их наблюдать в той же системе отсчёта.
Возьмём в качестве сталкивающихся объектов два одинаковых шара 𝐴 и 𝐵 и предположим, что между ними происходит не лобовое (редкое) столкновение, а скользящее (типичное). Всегда можно найти систему отсчёта, движущуюся с такой скоростью, что скорости шаров до столкновения равны и противоположны по направлению (рис. 82). В этой системе отсчёта полный импульс двух одинаковых шаров равен нулю.
